Complete os seguintes conjuntos para que sejam base dos respectivos espaços:
de
Passo 1
Temos o espaço vetorial
, que consiste em todas as matrizes 2×2 reais. O exercício dá as duas matrizes
e pede para completar esse conjunto até obter uma base de
. Vamos usar conceitos de dimensão, independência linear e geração.
Passo 2
A dimensão de
é 4, então qualquer base precisa de exatamente 4 matrizes linearmente independentes. Já temos 2 matrizes no conjunto, portanto precisamos escolher mais 2 que não possam ser escritas como combinação linear de
e
.
Passo 3
Uma escolha conveniente é tomar
Essas matrizes, juntas com
e
, permitem expressar separadamente cada entrada das matrizes de
.
Passo 4
Para verificar independência linear, consideremos
Escrevendo cada posição (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2), obtemos um sistema que força
. Como são 4 matrizes independentes num espaço de dimensão 4, elas formam uma base.