Complete os seguintes conjuntos para que sejam base dos respectivos espaços:
ll1 & 0 0 & 1 de ll0 & 1 1 & 0

Passo 1

Temos o espaço vetorial M2times2(R), que consiste em todas as matrizes 2×2 reais. O exercício dá as duas matrizes
M1=1 & 0 0 & 1, M2=0 & 1 1 & 0
e pede para completar esse conjunto até obter uma base de M2times2(R). Vamos usar conceitos de dimensão, independência linear e geração.

Passo 2

A dimensão de M2times2(R) é 4, então qualquer base precisa de exatamente 4 matrizes linearmente independentes. Já temos 2 matrizes no conjunto, portanto precisamos escolher mais 2 que não possam ser escritas como combinação linear de M1 e M2.

Passo 3

Uma escolha conveniente é tomar
M3=1 & 0 0 & -1, M4=0 & 1 -1 & 0
Essas matrizes, juntas com M1 e M2, permitem expressar separadamente cada entrada das matrizes de M2times2(R).

Passo 4

Para verificar independência linear, consideremos
c1M1 + c2M2 + c3M3 + c4M4 = 02times2
Escrevendo cada posição (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2), obtemos um sistema que força
c1=c2=c3=c4=0. Como são 4 matrizes independentes num espaço de dimensão 4, elas formam uma base.

Resposta

1 & 0 0 & 1,;0 & 1 1 & 0,;1 & 0 0 & -1,;0 & 1 -1 & 0.

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