Exercicio 10 Você tem uma carteira com 15 ações. No pregão de ontem 75 % das ações na bolsa de valores caíram de preço. Supondo que as ações que perderam valor têm distribuição binomial:
a) Qual a probabilidade que as 15 ações da carteira tenham caído?
b) Qual a probabilidade que tenham caído de preço exatamente 10 ações?
c) Qual a probabilidade que treze ou mais ações tenham caído de preço?

Passo 1

O enunciado descreve uma carteira com 15 ações e cada ação tem probabilidade p=0,75 de ter caído de preço ontem. Vamos modelar o número de ações que caíram por uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n=15 e p=0,75. Precisaremos da fórmula da probabilidade binomial:
P(X=k)=binomnk,p^k(1-p)^,n-k

Passo 2

Para facilitar, escrevemos a fórmula específica para n=15 e p=0,75:
P(X=k)=binom15k,(0,75)^k(0,25)^15-k
A partir daí, basta substituir k=15, k=10 e somar para k=13,14,15 conforme o que cada item pede.

Passo 3

(a) Para que todas as 15 ações tenham caído, basta tomar k=15:
P(X=15)=binom1515,(0,75)^15(0,25)^0=(0,75)^15
Numericamente,
(0,75)^15approx0,01336

Passo 4

(b) Para exatamente 10 ações caírem, tomamos k=10:
P(X=10)=binom1510,(0,75)^10(0,25)^5
Calculando,
binom1510=3003, (0,75)^10approx0,0563, (0,25)^5approx0,0009766,
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P(X=10)approx3003times0,0563times0,0009766approx0,165

Passo 5

(c) Para que treze ou mais ações caiam, computamos
P(X>=13)=P(X=13)+P(X=14)+P(X=15),
onde
P(X=13)=binom1513(0,75)^13(0,25)^2approx0,156,
P(X=14)=binom1514(0,75)^14(0,25)^1approx0,0668,
P(X=15)approx0,01336
Somando,
P(X>=13)approx0,156+0,0668+0,01336approx0,236

Resposta

(a) P(X=15)=(0,75)^15approx0,01336.
(b) P(X=10)=binom1510(0,75)^10(0,25)^5approx0,165.
(c) P(X>=13)approx0,236.

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