Considere a palavra MÁGICO:
a) Quantas permutações (anagramas) podemos formar?
b) Quantos anagramas começam com M ?
c) Quantos começam com MÁ? Quantos começam e terminam com vogal?
d) Quantos começam com consoante e terminam com vogal?
e) Em quantos anagramas as letras M, Á, G estão juntas, nessa ordem?
f) Em quantos as letras M, Á, G estão juntas?

Passo 1

O enunciado trata de permutações (anagramas) da palavra “MÁGICO”, que tem 6 letras distintas. Vamos usar o princípio fundamental da contagem e fórmulas de permutação com e sem restrições (fixando letras em certas posições ou agrupando letras como bloco).

Passo 2

Para contar todos os anagramas de 6 letras distintas aplicamos
6! = 720

Passo 3

Para os anagramas que começam com M fixamos M na primeira posição e permutamos as outras 5 letras,
5! = 120

Passo 4

Para os que começam com “MÁ” fixamos M e ÁÁ nas duas primeiras posições e permutamos as demais 4 letras,
4! = 24

Passo 5

Para os que começam e terminam com vogal: há três vogais ( ÁÁ, I e O), então escolhemos 3 para o início e 2 para o fim, e permutamos as 4 letras restantes no meio,
3 times 2 times 4! = 6 times 24 = 144

Passo 6

Para os que começam com consoante e terminam com vogal: há três consoantes ( M,G,C) e três vogais. Logo,
3 times 3 times 4! = 9 times 24 = 216

Passo 7

Para os anagramas em que as letras M, ÁÁ, G aparecem juntas nessa ordem, tratamos o bloco “MÁG” como uma única “letra”. Assim temos 4 objetos no total, permutados de 4! maneiras,
4! = 24

Passo 8

Para os anagramas em que M, ÁÁ, G aparecem juntas em qualquer ordem, temos o bloco de tamanho 3 (que pode ser permutado internamente em 3! maneiras) mais as outras 3 letras, totalizando 4 objetos. Então
4! times 3! = 24 times 6 = 144

Resposta

(a) 720
(b) 120
(c) começam com MÁ: 24; começam e terminam com vogal: 144
(d) 216
(e) 24
(f) 144

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