Exercício 100. Calcule \int_{C} y^{2} d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= (t, \operatorname{cosh} (t)).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y^{2}\,ds,
onde a curva C é parametrizada por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^2 dada por
\alpha(t) = \bigl(t,\operatorname{cosh}(t)\bigr).
Informações fornecidas e pedidos claros:
A parametrização é \alpha(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=\operatorname{cosh}(t) para t\in[0,2].
É solicitado o valor da integral de linha da função escalar y^{2} ao longo de C, isto é \int_{C} y^{2}\,ds.
Passo 2
Lembrete da fórmula que vamos usar (explicação didática do conceito).
Para uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de linha de uma função escalar f(x,y) é dada por
x(t) e y(t) são as coordenadas da parametrização em função de t.
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor derivada da parametrização.
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade escalar, que converte dt em elemento de comprimento ds.
Portanto, aplicar a fórmula significa: substituir x(t) e y(t) em y^{2}, calcular \alpha'(t), achar sua norma e integrar no intervalo t\in[0,2].
Passo 3
Calcular \alpha'(t) e sua norma passo a passo.
Derivando componente a componente:\alpha'(t) = \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) = \bigl(1,\operatorname{sinh}(t)\bigr),porque a derivada de \operatorname{cosh}(t) é \operatorname{sinh}(t).
A norma é\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert = \sqrt{1^{2}+\bigl(\operatorname{sinh}(t)\bigr)^{2}} = \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(t)}.
Usamos a identidade hiperbólica básica\operatorname{cosh}^{2}(t)-\operatorname{sinh}^{2}(t)=1,que implica 1+\operatorname{sinh}^{2}(t)=\operatorname{cosh}^{2}(t).
Como \operatorname{cosh}(t)\ge 1 para todo t\in\mathbb{R}, temos \sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(t)}=\operatorname{cosh}(t) (escolhemos o sinal positivo porque \operatorname{cosh}(t)>0 no intervalo [0,2]).
Temos y(t)=\operatorname{cosh}(t), então y^{2}= \operatorname{cosh}^{2}(t).
Substituindo f\bigl(x(t),y(t)\bigr) e \lVert\alpha'(t)\rVert na fórmula,\int_{C} y^{2}\,ds = \int_{0}^{2} \operatorname{cosh}^{2}(t)\cdot \operatorname{cosh}(t)\,dt = \int_{0}^{2} \operatorname{cosh}^{3}(t)\,dt.
Portanto reduzimos o problema a calcular a integral de uma função de uma variável: \displaystyle \int_{0}^{2} \operatorname{cosh}^{3}(t)\,dt.
Passo 5
Como integrar \displaystyle \int \operatorname{cosh}^{3}(t)\,dt? (aula prática)
Uma estratégia prática: usar a identidade \operatorname{cosh}^{2}(t)=1+\operatorname{sinh}^{2}(t) para reduzir a potência ímpar:\operatorname{cosh}^{3}(t)=\operatorname{cosh}(t)\operatorname{cosh}^{2}(t)=\operatorname{cosh}(t)\bigl(1+\operatorname{sinh}^{2}(t)\bigr).
Agora usar a substituição natural u=\operatorname{sinh}(t). Então du=\operatorname{cosh}(t)\,dt. Isso é ótimo porque aparece um fator \operatorname{cosh}(t)\,dt em cada parcela.
Com u=\operatorname{sinh}(t),\int \operatorname{cosh}(t)\,dt = \int du = u = \operatorname{sinh}(t),e\int \operatorname{cosh}(t)\operatorname{sinh}^{2}(t)\,dt = \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} = \frac{\operatorname{sinh}^{3}(t)}{3}.
Portanto uma primitiva de \operatorname{cosh}^{3}(t) é\operatorname{sinh}(t) + \frac{\operatorname{sinh}^{3}(t)}{3}.
Passo 6
Avaliar a integral definida entre 0 e 2.
Usando a primitiva encontrada,\int_{0}^{2} \operatorname{cosh}^{3}(t)\,dt = \Biggl[\operatorname{sinh}(t) + \frac{\operatorname{sinh}^{3}(t)}{3}\Biggr]_{0}^{2}.
Calcular os valores nas extremidades:
\operatorname{sinh}(0)=0, logo a contribuição inferior é 0 + \dfrac{0^{3}}{3}=0.
Para t=2 fica \operatorname{sinh}(2) + \dfrac{\operatorname{sinh}^{3}(2)}{3}.
Subtraindo, o valor da integral é\operatorname{sinh}(2) + \frac{\operatorname{sinh}^{3}(2)}{3}.
Passo 7
Comentário final e verificação rápida (motivacional).
O resultado está num formato exato em termos de função hiperbólica. Dá para factorar se quiser:\operatorname{sinh}(2) + \frac{\operatorname{sinh}^{3}(2)}{3} = \frac{3\operatorname{sinh}(2)+\operatorname{sinh}^{3}(2)}{3} = \frac{\operatorname{sinh}(2)\,\bigl(3+\operatorname{sinh}^{2}(2)\bigr)}{3}.
Não é preciso calcular numericamente para a prova, a forma exata em termos de \operatorname{sinh}(2) costuma ser a resposta esperada.