Exercício 101. Calcule \int_{C}(x-y+3 z) d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=(t+1, t, 4 t).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (x-y+3z)\,ds,
onde a curva C está parametrizada por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^3 dada por
\alpha(t)=(t+1,\; t,\; 4t), \qquad t\in[0,2].
Informações relevantes fornecidas:
A função escalar a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x-y+3z.
A parametrização da curva é \alpha(t)=(t+1,t,4t) com t variando de 0 a 2.
O elemento de comprimento de arco é ds — ou seja, é uma integral do tipo \int_C f\,ds.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para uma curva parametrizada \alpha(t), t\in[a,b], a integral de linha de uma função escalar f em relação ao comprimento de arco é
\alpha'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente).
\big\|\alpha'(t)\big\| é a norma (comprimento) desse vetor — isso é a velocidade escalar ou “speed”.
ds corresponde a \big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
Então o plano é: calcular \alpha'(t), a sua norma, substituir \alpha(t) na função f e integrar no intervalo [0,2].
Passo 3
Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente: