Exercício 101. Calcule \int_{C}(x-y+3 z) d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=(t+1, t, 4 t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (x-y+3z)\,ds,
onde a curva C está parametrizada por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^3 dada por
\alpha(t)=(t+1,\; t,\; 4t), \qquad t\in[0,2].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função escalar a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x-y+3z.
  • A parametrização da curva é \alpha(t)=(t+1,t,4t) com t variando de 0 a 2.
  • O elemento de comprimento de arco é ds — ou seja, é uma integral do tipo \int_C f\,ds.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para uma curva parametrizada \alpha(t), t\in[a,b], a integral de linha de uma função escalar f em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds \;=\; \int_{a}^{b} f\big(\alpha(t)\big)\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
Explicando cada parte:
  • \alpha'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente).
  • \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma (comprimento) desse vetor — isso é a velocidade escalar ou “speed”.
  • ds corresponde a \big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
    Então o plano é: calcular \alpha'(t), a sua norma, substituir \alpha(t) na função f e integrar no intervalo [0,2].

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente:
\alpha(t)=(t+1,\;t,\;4t)\quad\Rightarrow\quad \alpha'(t)=(1,\;1,\;4).
Agora a norma (comprimento) do vetor \alpha'(t) é
\big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+4^{2}}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=\;3\sqrt{2}.
Observação: a norma deu uma constante; isso significa que a parametrização tem velocidade constante, o que simplifica a integral.

Passo 4

Avaliar a função f ao longo da curva: substituir x=t+1, y=t, z=4t em f(x,y,z)=x-y+3z:
f\big(\alpha(t)\big)=(t+1)-t+3(4t)=1+12t.
Explicando passo a passo: (t+1)-t=1 e 3\cdot 4t=12t; somando dá 1+12t.

Passo 5

Montar a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}(x-y+3z)\,ds =\int_{0}^{2} f\big(\alpha(t)\big)\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt =\int_{0}^{2} (1+12t)\cdot 3\sqrt{2}\;dt.
Podemos tirar a constante 3\sqrt{2} para fora da integral:
\int_{0}^{2} (1+12t)\cdot 3\sqrt{2}\;dt =3\sqrt{2}\int_{0}^{2} (1+12t)\;dt.

Passo 6

Calcular a primitiva e avaliar no intervalo [0,2].
A primitiva de 1 é t. A primitiva de 12t é 6t^{2}. Assim
\int_{0}^{2} (1+12t)\;dt = \Big[t+6t^{2}\Big]_{0}^{2} = \big(2+6\cdot 2^{2}\big)-0 = 2+6\cdot 4 = 2+24 = 26.
Portanto a integral fica
3\sqrt{2}\cdot 26.

Resposta

78\sqrt{2}

Exercícios relacionados