Exercício 98. Calcule \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= (\operatorname{sen}(t), \cos (t)).
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei tudo do enunciado):
A curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2, \alpha(t)=(\sin t,\cos t).
O intervalo de parâmetrização é t\in[0,2\pi].
A função que devemos integrar ao longo de C é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
O pedido é calcular a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando cada peça):
Para uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de uma função escalar f(x,y) ao longo da curva em relação ao comprimento de arco é
f\big(x(t),y(t)\big) é a função original avaliada na parametrização (ou seja, substituir x=x(t) e y=y(t)).
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização.
\big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (módulo da derivada), que dá o fator ds= \|\alpha'(t)\|dt.
Explicando de forma intuitiva: ds é um pequeno pedaço de comprimento da curva; na parametrização esse pedaço vale \|\alpha'(t)\|\,dt. Então multiplicamos o valor da função por esse pedaço e somamos (integrando).
Interpretação e verificação final do procedimento (sem repetir a resposta final aqui):
A integranda tornou-se constante igual a 1 porque, ao longo da curva, x^{2}+y^{2} é sempre \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
A velocidade também deu 1, porque a parametrização é exatamente a parametrização por arco da circunferência unitária (isto é, o movimento tem velocidade unitária).
Logo a integral virou simplesmente a integral da função constante 1 no intervalo [0,2\pi]. Isso equivale a somar pequenos pedaços de comprimento ao longo de todo o intervalo de parâmetro (o que coincide com o comprimento da circunferência unitária).