Exercício 98. Calcule \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= (\operatorname{sen}(t), \cos (t)).

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei tudo do enunciado):
  • A curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2, \alpha(t)=(\sin t,\cos t).
  • O intervalo de parâmetrização é t\in[0,2\pi].
  • A função que devemos integrar ao longo de C é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • O pedido é calcular a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando cada peça):
  • Para uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de uma função escalar f(x,y) ao longo da curva em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
Aqui:
  • f\big(x(t),y(t)\big) é a função original avaliada na parametrização (ou seja, substituir x=x(t) e y=y(t)).
  • \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização.
  • \big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (módulo da derivada), que dá o fator ds= \|\alpha'(t)\|dt.
    Explicando de forma intuitiva: ds é um pequeno pedaço de comprimento da curva; na parametrização esse pedaço vale \|\alpha'(t)\|\,dt. Então multiplicamos o valor da função por esse pedaço e somamos (integrando).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, passo a passo:
  • Primeiro, avaliar f na parametrização:
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)^{2}+y(t)^{2}=\sin^{2}t+\cos^{2}t.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
f\big(x(t),y(t)\big)=1.
  • Agora calcular \alpha'(t). Como \alpha(t)=(\sin t,\cos t), temos
\alpha'(t)=(\cos t, -\sin t).
  • Calcular a norma (velocidade):
\big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{\cos^{2}t+(-\sin t)^{2}}=\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=\sqrt{1}=1.
  • Substituindo tudo na fórmula da integral:
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds \;=\; \int_{0}^{2\pi} \big(1\big)\cdot\big(1\big)\,dt \;=\; \int_{0}^{2\pi} 1\,dt.

Passo 4

Interpretação e verificação final do procedimento (sem repetir a resposta final aqui):
  • A integranda tornou-se constante igual a 1 porque, ao longo da curva, x^{2}+y^{2} é sempre \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
  • A velocidade também deu 1, porque a parametrização é exatamente a parametrização por arco da circunferência unitária (isto é, o movimento tem velocidade unitária).
  • Logo a integral virou simplesmente a integral da função constante 1 no intervalo [0,2\pi]. Isso equivale a somar pequenos pedaços de comprimento ao longo de todo o intervalo de parâmetro (o que coincide com o comprimento da circunferência unitária).

Resposta

\;2\pi\;

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