Exercício 99. Calcule \int_{C}(x+y) d s, onde C é parametrizada por \alpha:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= \left(t-1, t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha do escalar x+y ao longo da curva C parametrizada por \alpha:[-1,1]\to\mathbb{R}^2 dada por
\alpha(t)=\bigl(t-1,\;t^2\bigr),\qquad t\in[-1,1].
Informações dadas:
  • A função a integrar sobre a curva é f(x,y)=x+y.
  • A parametrização fornece x(t)=t-1 e y(t)=t^2.
  • O parâmetro varia de t=-1 até t=1.
O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \int_{C} (x+y)\,ds, isto é, a integral de linha com respeito ao comprimento de arco.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de um campo escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco vem por substituição da parametrização:
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert \,dt.
Aqui \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} é a velocidade escalar da parametrização, que transforma o diferencial de comprimento ds em um diferencial de parâmetro dt.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: primeiro calculemos x(t),y(t) e suas derivadas.
x(t)=t-1,\qquad y(t)=t^2.
Derivando em relação a t:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=2t.
Agora a norma de \alpha'(t):
\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(1)^2+(2t)^2}=\sqrt{1+4t^2}.

Passo 4

Montando a integral pela fórmula do Passo 2:
\int_{C}(x+y)\,ds = \int_{-1}^{1} \bigl(x(t)+y(t)\bigr)\,\bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert\,dt = \int_{-1}^{1} \bigl((t-1)+t^2\bigr)\sqrt{1+4t^2}\,dt.
Simplificando o integrando:
\int_{-1}^{1} \bigl(t^2+t-1\bigr)\sqrt{1+4t^2}\,dt.

Passo 5

Observação útil (paridade): a função \sqrt{1+4t^2} é par, i.e. \sqrt{1+4(-t)^2}=\sqrt{1+4t^2}. O polinômio t^2+t-1 se decompõe em parte par e parte ímpar:
t^2+t-1 = \underbrace{(t^2-1)}_{\text{par}} + \underbrace{t}_{\text{ímpar}}.í
Produto com a raiz (parte par) dá:
  • (t^2-1)\sqrt{1+4t^2} é função par;
  • t\sqrt{1+4t^2} é função ímpar.
Como a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-1,1] é zero, o termo ímpar desaparece. Logo
\int_{-1}^{1} \bigl(t^2+t-1\bigr)\sqrt{1+4t^2}\,dt = \int_{-1}^{1} (t^2-1)\sqrt{1+4t^2}\,dt.
E por paridade essa integral é o dobro da integral de 0 a 1:
\int_{-1}^{1} (t^2-1)\sqrt{1+4t^2}\,dt = 2\int_{0}^{1} (t^2-1)\sqrt{1+4t^2}\,dt.
Denotemos
K=\int_{0}^{1} (t^2-1)\sqrt{1+4t^2}\,dt, \qquad\text{então}\qquad \int_{C}(x+y)\,ds = 2K.ã

Passo 6

Para calcular K é conveniente fazer a substituição linear y=2t. Assim t=\dfrac{y}{2} e dt=\dfrac{dy}{2}. Quando t vai de 0 a 1, y vai de 0 a 2. Substituindo:
t^2-1=\frac{y^2}{4}-1=\frac{y^2-4}{4}, \qquad \sqrt{1+4t^2}=\sqrt{1+y^2}, \qquad dt=\frac{dy}{2}.
Logo
K=\int_{0}^{1} (t^2-1)\sqrt{1+4t^2}\,dt = \int_{0}^{2} \frac{y^2-4}{4}\sqrt{1+y^2}\cdot\frac{dy}{2} = \frac{1}{8}\int_{0}^{2} (y^2-4)\sqrt{1+y^2}\,dy.

Passo 7

Separe a integral em duas partes:
K=\frac{1}{8}\left(\int_{0}^{2} y^2\sqrt{1+y^2}\,dy - 4\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy\right).
Observe que
y^2\sqrt{1+y^2} = (1+y^2)^{3/2} - \sqrt{1+y^2},
portanto
\int_{0}^{2} y^2\sqrt{1+y^2}\,dy = \int_{0}^{2} (1+y^2)^{3/2}\,dy - \int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy.
Substituindo em K:
K=\frac{1}{8}\left(\int_{0}^{2} (1+y^2)^{3/2}\,dy - \int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy - 4\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy\right)
= \frac{1}{8}\left(\int_{0}^{2} (1+y^2)^{3/2}\,dy -5\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy\right).

Passo 8

Para \int (1+y^2)^{3/2}\,dy usamos uma fórmula de redução. Para m=\tfrac{3}{2} a redução dá
\int (1+y^2)^{3/2}\,dy = \frac{y}{4}(1+y^2)^{3/2} + \frac{3}{4}\int \sqrt{1+y^2}\,dy + C.
Aplicando isso no intervalo [0,2] obtemos
\int_{0}^{2} (1+y^2)^{3/2}\,dy = \left[\frac{y}{4}(1+y^2)^{3/2}\right]_{0}^{2} + \frac{3}{4}\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy.
Substituindo na expressão de K:
K=\frac{1}{8}\left(\left[\frac{y}{4}(1+y^2)^{3/2}\right]_{0}^{2} + \frac{3}{4}\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy -5\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy\right).
Agrupando os termos com \int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy:
K=\frac{1}{8}\left(\left[\frac{y}{4}(1+y^2)^{3/2}\right]_{0}^{2} -\frac{17}{4}\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy\right).

Passo 9

Agora calculemos os termos explícitos.
Primeiro o termo em colchetes:
\left[\frac{y}{4}(1+y^2)^{3/2}\right]_{0}^{2} = \frac{2}{4}\bigl(1+2^2\bigr)^{3/2} - 0 = \frac{1}{2}\cdot 5^{3/2} = \frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{5} = \frac{5}{2}\sqrt{5}.
Então \dfrac{1}{8} vezes esse termo vale
\frac{1}{8}\cdot \frac{5}{2}\sqrt{5}=\frac{5}{16}\sqrt{5}.
Agora a integral
S:=\int_{0}^{2}\sqrt{1+y^2}\,dy
usa a primitiva conhecida:
\int \sqrt{1+y^2}\,dy = \frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(y+\sqrt{1+y^2}\bigr)+C.
Avaliada de 0 a 2:
S=\left[\frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(y+\sqrt{1+y^2}\bigr)\right]_{0}^{2} = \left(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\right) - 0.
Portanto
S=\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Passo 10

Voltemos a K. Substituindo os resultados:
K=\frac{5}{16}\sqrt{5} - \frac{1}{8}\cdot\frac{17}{4}S = \frac{5}{16}\sqrt{5} - \frac{17}{32}S.
Substituindo S:
K=\frac{5}{16}\sqrt{5} - \frac{17}{32}\left(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\right).
Distribuindo:
K=\frac{5}{16}\sqrt{5} - \frac{17}{32}\sqrt{5} - \frac{17}{64}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
Juntando os coeficientes de \sqrt{5} (denominador comum 32):
\frac{5}{16}\sqrt{5}=\frac{10}{32}\sqrt{5}, \qquad \frac{10}{32}-\frac{17}{32}=-\frac{7}{32}.
Logo
K=-\frac{7}{32}\sqrt{5} - \frac{17}{64}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Passo 11

Lembrando que \displaystyle \int_{C}(x+y)\,ds = 2K, multiplicamos por 2:
\int_{C}(x+y)\,ds = 2K = -\frac{7}{16}\sqrt{5} - \frac{17}{32}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

-\dfrac{7}{16}\sqrt{5}-\dfrac{17}{32}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)

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