Calcular \displaystyle \int_{C} (x+y)\,ds, isto é, a integral de linha com respeito ao comprimento de arco.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de um campo escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco vem por substituição da parametrização:
Aqui \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \bigl\lVert \alpha'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} é a velocidade escalar da parametrização, que transforma o diferencial de comprimento ds em um diferencial de parâmetro dt.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: primeiro calculemos x(t),y(t) e suas derivadas.
Observação útil (paridade): a função \sqrt{1+4t^2} é par, i.e. \sqrt{1+4(-t)^2}=\sqrt{1+4t^2}. O polinômio t^2+t-1 se decompõe em parte par e parte ímpar:
Para calcular K é conveniente fazer a substituição linear y=2t. Assim t=\dfrac{y}{2} e dt=\dfrac{dy}{2}. Quando t vai de 0 a 1, y vai de 0 a 2. Substituindo: