Exercício 108. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(1,0) e C é parametrizada por \alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(t, 3 t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} F\,dr onde são dadas as seguintes informações:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(1,0).
  • A curva C é parametrizada por \alpha:[0,1]\to\mathbb{R}^2 com \alpha(t)=(t,3t) para t\in[0,1].
  • A orientação da curva é a que decorre da parametrização, ou seja, t cresce de 0 até 1.
O que se pede explicitamente: calcular o valor numérico de \displaystyle \int_{C} F\,dr.

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar) — o que significa essa integral e por que essa fórmula vale.
Para um campo vetorial F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e uma curva orientada \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^2 suave, a integral de linha de F ao longo de C é dada por
\int_C F\,dr=\int_a^b F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt.
Aqui:
  • F(\alpha(t)) é o campo avaliado no ponto da curva correspondente ao parâmetro t.
  • \alpha'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente) da parametrização; ele aponta na direção tangente à curva e tem magnitude igual à velocidade.
  • O símbolo \cdot é o produto escalar entre vetores em \mathbb{R}^2: para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2),
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2.
Intuitivamente, F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,dt mede a contribuição infinitesimal do campo na direção do deslocamento ao longo da curva; integrando, somamos essas contribuições ao longo de toda a curva.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \alpha(t).
A parametrização é \alpha(t)=(t,3t). Derivando componente a componente,
\alpha'(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}t,\\ \tfrac{d}{dt}(3t)\bigr)=(1,3).
Observação: \alpha'(t) é constante aqui porque \alpha é uma reta com velocidade constante.

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da curva: F(\alpha(t)).
Como F(x,y)=(1,0) não depende de x nem de y (é um campo constante), temos para todo t\in[0,1]:
F(\alpha(t))=(1,0).

Passo 5

Calcular o produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t).
Usando os vetores obtidos:
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=(1,0)\cdot(1,3)=1\cdot 1 + 0\cdot 3 = 1.
Portanto o integrando é a função constante 1 no intervalo t\in[0,1].

Passo 6

Montar e calcular a integral em t.
Pela fórmula do Passo 2,
\int_C F\,dr=\int_{0}^{1} F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,dt=\int_{0}^{1} 1\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} 1\,dt = \bigl[t\bigr]_{0}^{1}=1-0=1.

Passo 7

Interpretação prática e atalho útil para a prova.
Quando o campo F é constante, a integral de linha entre os pontos inicial e final da curva é simplesmente o produto escalar do vetor constante pelo deslocamento total:
\int_C F\,dr = F\cdot(\alpha(1)-\alpha(0)).
Aqui \alpha(1)=(1,3) e \alpha(0)=(0,0), então o deslocamento é (1,3) e
(1,0)\cdot(1,3)=1.
Dica de prova: ao ver campo constante, use esse atalho para economizar tempo.

Resposta

1

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