Exercício 108. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde são dadas as seguintes informações:
- O campo vetorial é
. - A curva
é parametrizada por com para . - A orientação da curva é a que decorre da parametrização, ou seja,
cresce de até .
O que se pede explicitamente: calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Explicação do método (fórmula que vamos usar) — o que significa essa integral e por que essa fórmula vale.
Para um campo vetorial
e uma curva orientada
suave, a integral de linha de
ao longo de
é dada por
Aqui:
-
é o campo avaliado no ponto da curva correspondente ao parâmetro . -
é o vetor velocidade (derivada componente a componente) da parametrização; ele aponta na direção tangente à curva e tem magnitude igual à velocidade. - O símbolo
é o produto escalar entre vetores em : para e ,
Intuitivamente,
mede a contribuição infinitesimal do campo na direção do deslocamento ao longo da curva; integrando, somamos essas contribuições ao longo de toda a curva.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
.
A parametrização é
. Derivando componente a componente,
Observação:
é constante aqui porque
é uma reta com velocidade constante.
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva:
.
Como
não depende de
nem de
(é um campo constante), temos para todo
:
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Usando os vetores obtidos:
Portanto o integrando é a função constante
no intervalo
.
Passo 6
Montar e calcular a integral em
.
Pela fórmula do Passo 2,
Calcule a integral:
Passo 7
Interpretação prática e atalho útil para a prova.
Quando o campo
é constante, a integral de linha entre os pontos inicial e final da curva é simplesmente o produto escalar do vetor constante pelo deslocamento total:
Aqui
e
, então o deslocamento é
e
Dica de prova: ao ver campo constante, use esse atalho para economizar tempo.