Exercício 109. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(0,1) e C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(t, 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} F\cdot d r para o campo vetorial F e a curva C dadas. Dados do problema:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(0,1).
  • A curva C é parametrizada por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^2, \alpha(t)=(t,1) para t\in[0,2].
  • A pergunta é: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva parametrizada por \alpha(t), t\in[a,b], é dada por
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \int_{a}^{b} F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt.
Aqui:
  • \alpha(t) é a posição ao longo da curva em função do parâmetro t.
  • \alpha'(t) é a derivada de \alpha em relação a t, que representa o vetor tangente (velocidade) à curva.
  • F(\alpha(t)) é o campo avaliado no ponto da curva correspondente ao parâmetro t.
  • O símbolo \cdot é o produto escalar (dot product) entre vetores: para dois vetores (u_1,u_2) e (v_1,v_2),
(u_1,u_2)\cdot(v_1,v_2)=u_1v_1+u_2v_2.
A integral no lado direito é uma integral usual de função real em t.

Passo 3

Calcular \alpha'(t). Como \alpha(t)=(t,1), cada componente é:
  • primeira componente: t tem derivada 1,
  • segunda componente: 1 tem derivada 0.
    Portanto
\alpha'(t)=(1,0).

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da curva: F(\alpha(t)).
O campo é constante F(x,y)=(0,1), então em qualquer ponto, inclusive em \alpha(t),
F(\alpha(t))=(0,1).

Passo 5

Calcular o produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t). Usando a definição do produto escalar,
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=(0,1)\cdot(1,0)=0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0.
Observe que o resultado é a função constante zero em t.

Passo 6

Aplicar a fórmula da integral de linha: substituir o produto escalar na integral de t=a até t=b. Aqui a=0 e b=2, então
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \int_{0}^{2} 0 \, dt = 0.
Detalhe: integrar a função zero sobre qualquer intervalo dá zero.

Passo 7

Interpretação intuitiva (ajuda para lembrar na prova): o campo F aponta verticalmente para cima em todos os pontos ( (0,1)), enquanto a curva é um segmento horizontal de (0,1) a (2,1). O trabalho (ou contribuição de F ao longo do deslocamento) é o componente de F na direção do deslocamento; como o deslocamento é horizontal e F é vertical, não há componente na direção do movimento, logo nenhum trabalho — integral zero. Um exemplo contrastante: se G(x,y)=(1,0) e mesma curva, teria G(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=(1,0)\cdot(1,0)=1 e a integral seria \int_0^2 1\,dt=2.

Resposta

0

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