Exercício 109. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
para o campo vetorial
e a curva
dadas. Dados do problema:
- O campo vetorial é
. - A curva
é parametrizada por , para . - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por
,
, é dada por
Aqui:
-
é a posição ao longo da curva em função do parâmetro . -
é a derivada de em relação a , que representa o vetor tangente (velocidade) à curva. -
é o campo avaliado no ponto da curva correspondente ao parâmetro . - O símbolo
é o produto escalar (dot product) entre vetores: para dois vetores e ,
A integral no lado direito é uma integral usual de função real em
.
Passo 3
Calcular
. Como
, cada componente é:
- primeira componente:
tem derivada , - segunda componente:
tem derivada .
Portanto
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva:
.
O campo é constante , então em qualquer ponto, inclusive em
,
O campo é constante
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando a definição do produto escalar,
Observe que o resultado é a função constante zero em
.
Passo 6
Aplicar a fórmula da integral de linha: substituir o produto escalar na integral de
até
. Aqui
e
, então
Detalhe: integrar a função zero sobre qualquer intervalo dá zero.
Passo 7
Interpretação intuitiva (ajuda para lembrar na prova): o campo
aponta verticalmente para cima em todos os pontos (
), enquanto a curva é um segmento horizontal de
a
. O trabalho (ou contribuição de
ao longo do deslocamento) é o componente de
na direção do deslocamento; como o deslocamento é horizontal e
é vertical, não há componente na direção do movimento, logo nenhum trabalho — integral zero. Um exemplo contrastante: se
e mesma curva, teria
e a integral seria
.
Resposta
0