Exercício 110. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo extraído do enunciado):
- O campo vetorial é
. - A curva
é parametrizada por , . - O intervalo de parâmetro é
. - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Definição útil (a regra que vamos usar): se uma curva
é dada por uma parametrização
,
, e
é um campo vetorial, então a integral de linha de
ao longo de
é
Explicando essa fórmula de forma simples:
-
é a posição no plano quando o parâmetro vale . -
é o vetor velocidade, ou seja, a derivada da posição em relação a . -
é o campo avaliado na posição . - O produto escalar
(dot) combina esses dois vetores e transforma a integral vetorial numa integral escalar em .
Essa é a fórmula padrão para transformar a integral de linha numa integral usual em uma variável.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização (o vetor velocidade). Como
, derivando componente a componente:
Aqui expliquei que derivar cada componente é a operação:
.
Passo 4
Calcular o campo ao longo da curva, ou seja
. Substituindo
em
temos
Passo 5
Fazer o produto escalar entre
e
. Lembrando: o produto escalar de dois vetores
e
é
. Então
Pequena observação didática: o resultado é uma função escalar de
, que é o integrando que vamos integrar no intervalo
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 e integramos:
Calcule a integral: uma primitiva de
é
. Avaliando de
a
,
Outra observação rápida:
é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, por isso a integral também dá zero — isso serve como verificação rápida.
Passo 7
Verificação alternativa (conceito útil para a prova): o campo
é conservativo porque existe potencial
tal que
. Para campos conservativos a integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos finais. Os extremos da curva são
e
. Então
o que confirma o resultado obtido pela parametrização.