Exercício 110. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(x, y) e C é parametrizada por \alpha:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(t, t).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo extraído do enunciado):
  • O campo vetorial é F(x,y)=(x,y).
  • A curva C é parametrizada por \alpha:[-1,1]\to\mathbb{R}^2, \alpha(t)=(t,t).
  • O intervalo de parâmetro é [-1,1].
  • O que se pede: calcular \displaystyle\int_{C} F\,dr.

Passo 2

Definição útil (a regra que vamos usar): se uma curva C é dada por uma parametrização \alpha(t), t\in[a,b], e F é um campo vetorial, então a integral de linha de F ao longo de C é
\int_{C} F\,dr = \int_{a}^{b} F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t)\,dt.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • \alpha(t) é a posição no plano quando o parâmetro vale t.
  • \alpha'(t) é o vetor velocidade, ou seja, a derivada da posição em relação a t.
  • F\big(\alpha(t)\big) é o campo avaliado na posição \alpha(t).
  • O produto escalar \cdot (dot) combina esses dois vetores e transforma a integral vetorial numa integral escalar em t.
    Essa é a fórmula padrão para transformar a integral de linha numa integral usual em uma variável.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização (o vetor velocidade). Como \alpha(t)=(t,t), derivando componente a componente:
\alpha'(t)=\big(1,1\big).
Aqui expliquei que derivar cada componente é a operação: \dfrac{d}{dt}(t)=1.

Passo 4

Calcular o campo ao longo da curva, ou seja F(\alpha(t)). Substituindo \alpha(t)=(t,t) em F(x,y)=(x,y) temos
F\big(\alpha(t)\big)=\big(t,t\big).

Passo 5

Fazer o produto escalar entre F(\alpha(t)) e \alpha'(t). Lembrando: o produto escalar de dois vetores (a,b) e (c,d) é a c + b d. Então
F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t)= (t,t)\cdot(1,1)=t\cdot1 + t\cdot1 = 2t.
Pequena observação didática: o resultado é uma função escalar de t, que é o integrando que vamos integrar no intervalo [-1,1].

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 e integramos:
\int_{C} F\,dr = \int_{-1}^{1} 2t\,dt.
Calcule a integral: uma primitiva de 2t é t^{2}. Avaliando de -1 a 1,
\int_{-1}^{1} 2t\,dt = \big[t^{2}\big]_{-1}^{1} = 1^{2}-(-1)^{2}=1-1=0.
Outra observação rápida: 2t é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, por isso a integral também dá zero — isso serve como verificação rápida.

Passo 7

Verificação alternativa (conceito útil para a prova): o campo F(x,y)=(x,y) é conservativo porque existe potencial \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}y^{2} tal que \nabla\varphi=(x,y)=F. Para campos conservativos a integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos finais. Os extremos da curva são \alpha(-1)=(-1,-1) e \alpha(1)=(1,1). Então
\int_{C} F\,dr = \varphi(1,1)-\varphi(-1,-1) = \Big(\tfrac{1}{2}\cdot1^{2}+\tfrac{1}{2}\cdot1^{2}\Big)-\Big(\tfrac{1}{2}\cdot(-1)^{2}+\tfrac{1}{2}\cdot(-1)^{2}\Big)=1-1=0,
o que confirma o resultado obtido pela parametrização.

Resposta

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