Exercício 10.Os seguintes tempos foram registrados pelos corredores de 400 m e 1600 m de um time de trilha de uma universidade(os tempos estão em minutos).
Tempos de 400 m: 1,04 \quad 0,92 \quad 0,90 \quad 0,98 \quad 0,99
Tempos de 1600 \mathrm{~m}: 4,60 \quad 4,52 \quad 4,70 \quad 4,35 \quad 4,50
Depois de ver essa amostra de corrida,um dos treinadores comentou que os corredores de 400 m apresentam tem- pos mais constantes(com relação ao tamanho do percurso).Use o desvio padrão e o coeficiente de variação para sintetizar a variabilidade nos dados.O uso do coeficiente de variação indica que a declaração do treinador é válida?
Passo 1
O enunciado dá duas amostras de tempos (em minutos) e pede para sintetizar a variabilidade usando o desvio padrão e o coeficiente de variação, e então avaliar se o comentário do treinador (que os tempos de 400\\ \mathrm{m} são mais constantes “com relação ao tamanho do percurso”) é válido segundo o coeficiente de variação. Dados fornecidos:
\text{Tempos de }400\\ \mathrm{m}:\;1,04,\;0,92,\;0,90,\;0,98,\;0,99
\text{Tempos de }1600\\ \mathrm{m}:\;4,60,\;4,52,\;4,70,\;4,35,\;4,50
Não há outra informação adicional — vamos tratar cada conjunto como uma amostra de tamanho n=5.
Passo 2
O que é média amostral e como calcular: a média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividida por n. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde x_i são os valores observados e n é o número de observações. Vou calcular a média de cada amostra.
Cálculo da média dos 400\\ \mathrm{m}:
\sum x_{400}=1,04+0,92+0,90+0,98+0,99=4,83
\bar{x}_{400}=\frac{4,83}{5}=0,966
Cálculo da média dos 1600\\ \mathrm{m}:
\sum x_{1600}=4,60+4,52+4,70+4,35+4,50=22,67
\bar{x}_{1600}=\frac{22,67}{5}=4,534
Passo 3
O que é desvio padrão amostral e fórmula: o desvio padrão amostral s mede a dispersão absoluta dos dados em torno da média. Usamos a fórmula com divisor n-1 (correção de Bessel) quando trabalhamos com amostras:
Em termos absolutos os tempos de 400\\ \mathrm{m} variam menos (menor desvio padrão). Mas isso é esperado porque os tempos são muito menores em magnitude; para comparar “constância com relação ao tamanho do percurso” precisamos normalizar — é aí que entra o coeficiente de variação.
Passo 6
O que é o coeficiente de variação (CV) e por que usar: o coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, normalmente expresso em porcentagem; ele mede a variabilidade relativa em relação ao nível médio dos dados. Fórmula:
Desvio padrão absoluto: s_{400}=0,0564 min < s_{1600}=0,1295 min. Em termos absolutos (minutos) os tempos de 400\\ \mathrm{m} são menos dispersos.
Coeficiente de variação (variabilidade relativa): \mathrm{CV}_{400}\approx 5,84\% e \mathrm{CV}_{1600}\approx 2,86\%. Como \mathrm{CV}_{1600} é menor, os tempos de 1600\\ \mathrm{m} são mais constantes em termos relativos (ou seja, menos variáveis quando comparados com a média do respectivo percurso).
Portanto usar apenas o desvio padrão pode induzir engano aqui porque não leva em conta a escala (as médias são muito diferentes). O coeficiente de variação é o indicador apropriado para comparar constância relativa entre percursos de diferentes durações.
Passo 8
Conclusão sobre a declaração do treinador: o uso do coeficiente de variação indica que a afirmação do treinador NÃO é válida — os corredores de 1600\\ \mathrm{m} têm menor variabilidade relativa (são mais constantes em termos percentuais) do que os de 400\\ \mathrm{m}.
Resposta
Desvio padrão: s_{400}=0,0564 min, s_{1600}=0,1295 min
Coeficiente de variação: \mathrm{CV}_{400}=5,84\%, \mathrm{CV}_{1600}=2,86\%
Conclusão: Pelo coeficiente de variação, a declaração do treinador não é válida (os tempos de 1600\\ \mathrm{m} são mais constantes em termos relativos).