Exercício 10.Os seguintes tempos foram registrados pelos corredores de 400 m e 1600 m de um time de trilha de uma universidade(os tempos estão em minutos).
Tempos de 400 m: 1,04 \quad 0,92 \quad 0,90 \quad 0,98 \quad 0,99
Tempos de 1600 \mathrm{~m}: 4,60 \quad 4,52 \quad 4,70 \quad 4,35 \quad 4,50
Depois de ver essa amostra de corrida,um dos treinadores comentou que os corredores de 400 m apresentam tem- pos mais constantes(com relação ao tamanho do percurso).Use o desvio padrão e o coeficiente de variação para sintetizar a variabilidade nos dados.O uso do coeficiente de variação indica que a declaração do treinador é válida?

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de tempos (em minutos) e pede para sintetizar a variabilidade usando o desvio padrão e o coeficiente de variação, e então avaliar se o comentário do treinador (que os tempos de 400\\ \mathrm{m} são mais constantes “com relação ao tamanho do percurso”) é válido segundo o coeficiente de variação. Dados fornecidos:
\text{Tempos de }400\\ \mathrm{m}:\;1,04,\;0,92,\;0,90,\;0,98,\;0,99
\text{Tempos de }1600\\ \mathrm{m}:\;4,60,\;4,52,\;4,70,\;4,35,\;4,50
Não há outra informação adicional — vamos tratar cada conjunto como uma amostra de tamanho n=5.

Passo 2

O que é média amostral e como calcular: a média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividida por n. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde x_i são os valores observados e n é o número de observações. Vou calcular a média de cada amostra.
Cálculo da média dos 400\\ \mathrm{m}:
\sum x_{400}=1,04+0,92+0,90+0,98+0,99=4,83
\bar{x}_{400}=\frac{4,83}{5}=0,966
Cálculo da média dos 1600\\ \mathrm{m}:
\sum x_{1600}=4,60+4,52+4,70+4,35+4,50=22,67
\bar{x}_{1600}=\frac{22,67}{5}=4,534

Passo 3

O que é desvio padrão amostral e fórmula: o desvio padrão amostral s mede a dispersão absoluta dos dados em torno da média. Usamos a fórmula com divisor n-1 (correção de Bessel) quando trabalhamos com amostras:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
Aqui x_i é cada observação, \bar{x} é a média amostral e n o número de observações. Vou aplicar isso passo a passo para os 400\\ \mathrm{m}.
Primeiro computar as diferenças x_i-\bar{x}_{400} e seus quadrados:
\begin{array}{l} 1,04-0,966=0,074,\quad(0,074)^2=0,005476\\\\ 0,92-0,966=-0,046,\quad(-0,046)^2=0,002116\\\\ 0,90-0,966=-0,066,\quad(-0,066)^2=0,004356\\\\ 0,98-0,966=0,014,\quad(0,014)^2=0,000196\\\\ 0,99-0,966=0,024,\quad(0,024)^2=0,000576 \end{array}
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_{400})^2=0,005476+0,002116+0,004356+0,000196+0,000576=0,01272
Aplicando a fórmula com n-1=4:
s_{400}=\sqrt{\frac{0,01272}{4}}=\sqrt{0,00318}=0,0564\\ \text{(minutos)}

Passo 4

Agora vamos calcular o desvio padrão amostral para os 1600\\ \mathrm{m} com o mesmo procedimento.
Diferenças e quadrados:
\begin{array}{l} 4,60-4,534=0,066,\quad(0,066)^2=0,004356\\\\ 4,52-4,534=-0,014,\quad(-0,014)^2=0,000196\\\\ 4,70-4,534=0,166,\quad(0,166)^2=0,027556\\\\ 4,35-4,534=-0,184,\quad(-0,184)^2=0,033856\\\\ 4,50-4,534=-0,034,\quad(-0,034)^2=0,001156 \end{array}
Somando os quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_{1600})^2=0,004356+0,000196+0,027556+0,033856+0,001156=0,06712
Aplicando a fórmula com n-1=4:
s_{1600}=\sqrt{\frac{0,06712}{4}}=\sqrt{0,01678}=0,1295\\ \text{(minutos)}

Passo 5

Interpretação preliminar dos desvios padrão: o desvio padrão mede dispersão em unidades originais (minutos). Aqui:
s_{400}=0,0564\\ \text{min},\qquad s_{1600}=0,1295\\ \text{min}.
Em termos absolutos os tempos de 400\\ \mathrm{m} variam menos (menor desvio padrão). Mas isso é esperado porque os tempos são muito menores em magnitude; para comparar “constância com relação ao tamanho do percurso” precisamos normalizar — é aí que entra o coeficiente de variação.

Passo 6

O que é o coeficiente de variação (CV) e por que usar: o coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, normalmente expresso em porcentagem; ele mede a variabilidade relativa em relação ao nível médio dos dados. Fórmula:
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}
Multiplicando por 100\% obtemos a porcentagem.
Calcular o \mathrm{CV} para 400\\ \mathrm{m}:
\mathrm{CV}_{400}=\frac{s_{400}}{\bar{x}_{400}}=\frac{0,0564}{0,966}=0,0584\approx 5,84\%
Calcular o \mathrm{CV} para 1600\\ \mathrm{m}:
\mathrm{CV}_{1600}=\frac{s_{1600}}{\bar{x}_{1600}}=\frac{0,1295}{4,534}=0,0286\approx 2,86\%

Passo 7

Interpretação dos resultados:
  • Desvio padrão absoluto: s_{400}=0,0564 min < s_{1600}=0,1295 min. Em termos absolutos (minutos) os tempos de 400\\ \mathrm{m} são menos dispersos.
  • Coeficiente de variação (variabilidade relativa): \mathrm{CV}_{400}\approx 5,84\% e \mathrm{CV}_{1600}\approx 2,86\%. Como \mathrm{CV}_{1600} é menor, os tempos de 1600\\ \mathrm{m} são mais constantes em termos relativos (ou seja, menos variáveis quando comparados com a média do respectivo percurso).
Portanto usar apenas o desvio padrão pode induzir engano aqui porque não leva em conta a escala (as médias são muito diferentes). O coeficiente de variação é o indicador apropriado para comparar constância relativa entre percursos de diferentes durações.

Passo 8

Conclusão sobre a declaração do treinador: o uso do coeficiente de variação indica que a afirmação do treinador NÃO é válida — os corredores de 1600\\ \mathrm{m} têm menor variabilidade relativa (são mais constantes em termos percentuais) do que os de 400\\ \mathrm{m}.

Resposta

Desvio padrão: s_{400}=0,0564 min, s_{1600}=0,1295 min
Coeficiente de variação: \mathrm{CV}_{400}=5,84\%, \mathrm{CV}_{1600}=2,86\%
Conclusão: Pelo coeficiente de variação, a declaração do treinador não é válida (os tempos de 1600\\ \mathrm{m} são mais constantes em termos relativos).

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