UTFPR - Universidade Tecnológica Federal Do Paraná - Campus Londrina DISCIPLINA: Estatística Aplicada à Engenharia PROFESSOR: Joelmir André Borssoi
Considere que os dados da tabela abaixo sejam de uma população homogênea e que, a partir de uma AMOSTRA piloto de \mathrm{n}=10 observações, obteve-se desvio padrão do pH igual a 2,15 :
a) determine o tamanho da amostra necessária para estimar a média populacional com 95 \% de confiança e precisão (erro de estimação) igual a 1 ;
b) selecione uma amostra aleatória cujo número de observações foi determinado no item a) (assinale na própria folha);
c) para a amostra selecionada em b), obtenha a estimativa pontual para a média e para o desvio padrão do pH ;
d) para a amostra selecionada em b), obtenha uma estimativa por intervalo, com 95 \% de confiança, para a média populacional do pH e interprete-o;
e) a verdadeira média (\mu=5,98) pertence ao intervalo obtido em d)?
7,20 5,42 8,49 4,79 6,85 3,97 7,71 5,02 5,28 7,67 6,25 5,59 6,66 4,19 5,69 5,46 4,88
7,37 7,14 4,24 3,34 5,71 5,19 9,36 6,16 6,06 4,72 7,63 6,64 7,69 7,07 8,50 6,70 5,59
4,19 5,90 7,35 4,07 7,71 4,45 5,40 8,89 6,69 4,94 5,10 5,28 4,00 7,00 3,47 4,44 7,65
7,60 6,38 6,63 6,46 4,66 3,06 8,34 8,85 5,71 6,87 6,79 6,92 6,91 6,28 2,62 5,80 5,72
6,81 4,31 6,95 6,05 5,48 4,92 6,75 6,36 5,52 4,32 4,46 4,94 5,88 3,76 2,86 5,80 6,94
6,11 5,74 4,84 4,03 6,27 4,48 4,22 7,18 4,00 6,40 4,34 5,14 5,29 3,66 6,79 4,53 7,44
4,71 5,57 7,94 4,18 6,14 6,46 6,19 3,15 6,57 5,85 8,48 6,25 7,14 6,87 4,96 5,59 6,55
7,20 6,85 3,68 5,76 7,18 6,10 5,54 6,62 6,09 5,07 4,00 3,92 5,34 5,41 5,43 8,26 6,83
5,18 8,08 2,14 5,91 4,47 6,19 4,84 8,06 6,87 5,84 6,95 4,70 9,39 9,89 6,53 4,90 4,53
4,87 7,69 5,22 3,40 7,46 7,52 3,59 6,70 6,29 4,36 7,20 7,13 4,76 6,24 6,19 2,75 7,45
8,38 6,43 5,05 8,48 6,46 6,06 8,02 7,08 5,37 4,06 7,61 4,61 6,26 5,83 5,94 7,02 3,66
6,55 4,53 5,01 6,00 6,33 5,71 6,99 4,21 5,27 5,19 8,08 5,50 2,91 4,89 7,22 7,58 6,59
8,19 4,31 6,17 5,20 3,49 5,52 5,74 5,68 4,59 8,31 4,33 4,84 6,50 4,69 8,13 4,31 5,82
5,04 6,02 6,11 5,89 5,11 5,58 4,64 9,15 2,72 6,66 8,38 5,16 5,96 4,95 4,50 5,15 5,98
8,91 3,91 7,12 8,11 5,91 4,98 5,54 8,17 4,68 6,48 7,95 5,21 6,47 5,03 4,40 7,06 8,18
5,36 7,11 5,69 6,08 4,89 5,24 7,02 5,36 6,98 8,10 3,99 6,27 3,92 7,38 5,87 9,05 4,24
7,08 4,63 5,61 5,36 3,84 4,69 8,18 4,05 6,91 6,84 6,09 6,42 6,47 6,02 4,84 6,78 6,62
5,29 5,40 6,91 6,26 5,25 6,49 7,63 4,02 6,86 5,63 7,20 7,55 5,09 5,07 6,39 7,22 8,51
6,28 5,20 7,01 6,93 8,59 4,71 8,47 7,67 6,13 5,64 7,56 5,40 8,53 6,98 7,32 5,38 8,50
5,77 9,14 6,63 5,19 6,09 6,58 6,88 5,58 2,59 6,99 4,35 7,86 7,68 5,91 5,30 5,03 8,67
6,89 5,00 6,22 7,58 3,90 5,62 4,52 6,94 6,36 4,81 5,97 6,22 5,63 7,31 6,54 8,82 3,50
6,13 3,63 3,09 7,56 8,79 4,48 5,64 6,44 4,90 4,01 4,76 6,62 6,24 6,15 8,45 5,66 5,90
8,46 5,34 6,54 9,67 6,48 7,74 7,81 7,73 7,27 3,51 5,61 5,49 6,04 5,52 6,61 6,75 7,58
4,05 3,85 4,94 5,07 5,96 5,67 4,19 6,41 6,29 3,41 7,01 5,81 7,39 7,28 5,91 6,90 5,04
4,96 3,24 5,22 3,87 3,84 4,21 8,87 5,47 5,14 6,88 8,08 7,00 6,12 5,56 7,98 5,30 3,43
7,24 7,52 1,99 7,10 4,03 10,00 4,19 5,05 5,46 4,27 7,13 3,24 8,17 5,60 5,90 7,92 5,09
5,39 9,07 6,57 3,01 4,50 6,01 5,68 7,17 6,04 7,04 5,90 9,31 8,94 5,57 8,41 6,12 6,01
5,70 6,36 5,52 5,23 7,18 8,47 3,53 3,78 7,69 7,44 7,69 4,56 5,13 6,31 2,38 3,94 4,68
6,10 5,60 6,75 4,14 4,82 6,54 4,91 6,84 6,94 2,91 7,21 7,29 3,82 4,45 5,31 4,30 5,84
6,72 7,43 7,81 6,02 5,05 6,92 8,80

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo bem organizado para não nos perder):\n
  • Dados: foi feita uma amostra piloto com n=10 observações e obteve-se desvio padrão igual a s=2,15. (Essa informação veio do enunciado / tabela fornecida.)\n
  • Confiança desejada: 95\%.\n
  • Precisão (erro máximo de estimação) desejada para a média: E=1.\n
  • Há uma tabela grande de observações (os valores do pH). O enunciado pede:\n
    a) determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média com 95\% de confiança e erro E=1;\n
    b) selecionar uma amostra aleatória com o número de observações obtido em (a) (assinalar na folha);\n
    c) para a amostra selecionada em (b), obter a estimativa pontual da média e do desvio padrão do pH;\n
    d) para essa amostra, construir um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional do pH e interpretar;\n
    e) verificar se a verdadeira média \mu=5,98 pertence ao intervalo obtido em (d).\n
    Observação: vou usar o desvio padrão piloto s=2,15 como aproximação de \sigma para dimensionar a amostra em (a). Para (b) vou indicar explicitamente quais observações da tabela eu selecionei (dizendo que peguei o primeiro valor de cada uma das primeiras 18 linhas da tabela, assim fica claro de onde vieram os números).

Passo 2

Como calcular o tamanho da amostra: explicação didática da fórmula\n
  • Queremos que o erro máximo da estimativa da média (metade do comprimento do intervalo de confiança) seja E. Para uma confiança 1-\alpha (aqui 95\%), a forma usual (quando usamos uma estimativa de \sigma obtida em piloto) é usar a aproximação baseada na distribuição normal:\n
n \approx \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}\n
  • O que significa cada símbolo?\n
    • n é o tamanho da amostra que queremos calcular.\n
    • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96.\n
    • \sigma é o desvio padrão populacional; aqui não o conhecemos, então usamos o desvio padrão piloto s=2,15 como aproximação.\n
    • E é o erro máximo permitido (a precisão) — aqui E=1.\n
      Motivação rápida (intuição): o intervalo de confiança para a média, com desvio conhecido, tem meio-comprimento z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}. Impor z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}\le E e resolver para n dá a fórmula acima.\n
      Agora aplicamos numericamente:

Passo 3

Aplicando a fórmula numérica e arredondamento (sempre arredondar para cima porque precisamos ter pelo menos esse n):\n
n \approx \left(\frac{1,96 \times 2,15}{1}\right)^{2}\n
Calcule passo a passo:\n
1,96\times 2,15 = 4,214\n
n \approx (4,214)^{2} = 17,75\ldots\n
Arredondando para cima (não podemos ter fração de observação), obtemos\n
n = 18.

Passo 4

Seleção da amostra (resposta ao item b) — indicação explícita das observações escolhidas da tabela)\n
  • Para selecionar uma amostra de tamanho n=18 a partir da tabela fornecida, escolhi uma observação em cada uma das primeiras 18 linhas (ou seja, o primeiro valor de cada uma das primeiras 18 linhas da tabela). Estou dizendo explicitamente que peguei esses valores da tabela fornecida.\n
    As 18 observações selecionadas são (escrevo com vírgula decimal, conforme a tabela):\n
    \;7,20,\;7,37,\;4,19,\;7,60,\;6,81,\;6,11,\;4,71,\;7,20,\;5,18,\;4,87,\;8,38,\;6,55,\;8,19,\;5,04,\;8,91,\;5,36,\;7,08,\;5,29.\n
    (Estas 18 vieram diretamente da tabela: primeiro valor de cada uma das primeiras dezoito linhas.)

Passo 5

Estimativa pontual da média para a amostra selecionada (item c): cálculo detalhado\n
  • Fórmula da média amostral:\n
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}\n
  • Somando as 18 observações (mostro a soma):\n
\sum_{i=1}^{18} x_{i} = 116,05\n
  • Então a média amostral é:\n
\bar{x} = \frac{116,05}{18} = 6,447222\ldots\n
Arredondando normalmente para duas casas decimais para leitura em prova, podemos escrever \bar{x}\approx 6,45.\n
Agora o desvio padrão amostral (estimativa pontual para o desvio):\n
  • Fórmula (amostral, com n-1 no denominador):\n
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\n
  • Cálculo prático usando a identidade computacional (muito útil na prova):\n
s^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2} - n\,\bar{x}^{2}}{n-1}.\n
  • Das observações selecionadas calculei:\n
\sum_{i=1}^{18} x_{i}^{2} = 781,6914\n
  • Já tínhamos \bar{x}=116,05/18, portanto\n
n\,\bar{x}^{2} = 18\times 41,566674\ldots = 748,200132\ldots\n
  • Logo\n
s^{2}=\frac{781,6914 - 748,200132}{17} = \frac{33,491268}{17} = 1,970664\ldots\n
s=\sqrt{1,970664\ldots}=1,4038\ldots\n
Arredondando sensatamente para duas casas decimais, s\approx 1,40.\n
Interpretação curta: \bar{x} é nossa melhor estimativa pontual para a média populacional do pH e s é a estimativa do desvio padrão populacional a partir da amostra.

Passo 6

Intervalo de confiança de 95\% para a média (item d): escolha da distribuição e cálculo\n
  • Por que usar t e não z? Porque aqui o desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra tem tamanho relativamente pequeno ( n=18). Assim, o erro padrão da média é estimado por s/\sqrt{n} e o quantil tem distribuição t com n-1 graus de liberdade.\n
  • Fórmula do intervalo de confiança de 95\%:\n
\bar{x} \pm t_{n-1,\,\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\n
  • Para n=18 temos n-1=17 graus de liberdade. O quantil t_{17,\,0,975} (valor crítico para duas caudas com 95% de confiança) vale aproximadamente 2,110 (tabela t).\n
  • Error (meio-comprimento) do intervalo:\n
\mathrm{ME}=t_{17,0,975}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \approx 2,110 \times \frac{1,4038}{\sqrt{18}}.\n
  • Calculemos passo a passo:\n
\sqrt{18}=4,2426407\ldots\n
2,110\times 1,4038 = 2,9620\ldots\n
\mathrm{ME} \approx \frac{2,9620}{4,24264} \approx 0,6983.\n
  • Portanto o intervalo de confiança é:\n
\bar{x}\pm \mathrm{ME} = 6,44722\ldots \pm 0,6983\n
\text{Intervalo} \approx \bigl[\,5,7489\;;\;7,1455\,\bigr].\n
Interpretação (linguagem de prova/amigável): com 95\% de confiança, o verdadeiro valor da média populacional do pH está entre aproximadamente 5,75 e 7,15. Isso significa que se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo desse tipo para cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.

Passo 7

Verificação se a verdadeira média \mu=5,98 pertence ao intervalo obtido (item e)\n
  • O intervalo de 95\% calculado foi aproximadamente \bigl[\,5,7489\;;\;7,1455\,\bigr].\n
  • A verdadeira média dada \mu=5,98 situa-se entre 5,7489 e 7,1455.\n
    Logo sim: \mu=5,98 pertence ao intervalo de confiança obtido.

Resposta

a) n=18.\n
b) Amostra selecionada (18 observações, primeiro valor de cada uma das primeiras 18 linhas da tabela): \;7,20,\;7,37,\;4,19,\;7,60,\;6,81,\;6,11,\;4,71,\;7,20,\;5,18,\;4,87,\;8,38,\;6,55,\;8,19,\;5,04,\;8,91,\;5,36,\;7,08,\;5,29.\n
c) Estimativas pontuais: \bar{x}=6,44722\ldots\\ (\approx 6,45) e s=1,4038\ldots\\ (\approx 1,40).\n
d) Intervalo de confiança de 95\% para a média: \bigl[\,5,7489\;;\;7,1455\,\bigr]. Interpretação: com 95\% de confiança, a média populacional do pH está entre aproximadamente 5,75 e 7,15.\n
e) Sim — a verdadeira média \mu=5,98 pertence ao intervalo obtido.

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