Exercício 7.A espessura(mm)de 9 parafusos foi mensurada e os dados obtidos foram: 2,8 \quad 4,2 \quad 5,5 \quad 3,0 \quad 4,1 \begin{array}{llll}3,9 & 2,7 & 4,2 & 2,9\end{array}
Calcule as medidas descritivas:mínimo,máximo,quartis,mediana,média,amplitude,desvio médio,variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado deu as medidas de espessura (em mm) de 9 parafusos:
\;2,8\quad 4,2\quad 5,5\quad 3,0\quad 4,1\quad 3,9\quad 2,7\quad 4,2\quad 2,9.
As perguntas são: calcular as medidas descritivas — mínimo, máximo, quartis, mediana, média, amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Listei explicitamente os dados porque vamos ordená‑los e trabalhar com cada termo no cálculo.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (isso é necessário para achar mínimo, máximo, mediana e quartis). Ordenando temos:
2,7,\;2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,9,\;4,1,\;4,2,\;4,2,\;5,5.
Agora identifico o mínimo e o máximo: o mínimo é o primeiro elemento e o máximo é o último.

Passo 3

Mínimo e máximo:
\text{mínimo} = 2,7,\qquad \text{máximo} = 5,5.íá
Amplitude (range) é a diferença entre máximo e mínimo. Vou calcular na próxima etapa.

Passo 4

Amplitude:
\text{amplitude} = \text{máximo} - \text{mínimo} = 5,5 - 2,7 = 2,8.áí
Explicação rápida: amplitude mede a extensão total dos dados — quanto o maior valor excede o menor.

Passo 5

Mediana: como há n=9 observações (n ímpar), a mediana é o elemento na posição (n+1)/2.
\frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5,
ou seja, a mediana é o 5.º valor da lista ordenada. Da lista ordenada acima o 5.º valor é 3,9. Portanto
\text{mediana} = 3,9.
Breve lembrete didático: a mediana divide os dados em duas metades com a mesma quantidade de observações (quando n é ímpar, a mediana é exatamente um dos dados).

Passo 6

Quartis: há convenções diferentes, mas a convenção que vou usar é a mais comum em estatística descritiva (método de Tukey): quando n é ímpar, exclui‑se a mediana e calcula‑se Q_1 como a mediana da metade inferior (observações 1 a 4) e Q_3 como a mediana da metade superior (observações 6 a 9). Isso é simples e rápido de aplicar na prova. Aplicando:
  • metade inferior: 2,7,\;2,8,\;2,9,\;3,0. Como são 4 valores, o quartil Q_1 é a média dos dois valores do meio:
Q_1 = \frac{2,8+2,9}{2} = \frac{5,7}{2} = 2,85.
  • metade superior: 4,1,\;4,2,\;4,2,\;5,5. O quartil Q_3 é a média dos dois do meio:
Q_3 = \frac{4,2+4,2}{2} = 4,2.
Resumo:
Q_1 = 2,85,\qquad Q_3 = 4,2.

Passo 7

Média aritmética (explicando a fórmula): a média de um conjunto de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} significa “média” e cada x_i é uma observação. Aqui n=9. Vou calcular a soma e dividir por 9. Somando todos os dados (usei os valores originais):
2,8+4,2+5,5+3,0+4,1+3,9+2,7+4,2+2,9 = 33,3.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{33,3}{9}=3,7.
Interpretação: o valor médio de espessura medido é 3,7 mm.

Passo 8

Desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média): a fórmula é
\text{desvio médio}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\bar{x}|.é
Expliquei: usamos valor absoluto porque interessa a magnitude média do desvio, sem cancelar positivos e negativos. Calculo os desvios absolutos em relação a \bar{x}=3,7:
\begin{array}{l} |2,7-3,7|=1,0,\\\ |2,8-3,7|=0,9,\\\ |2,9-3,7|=0,8,\\\ |3,0-3,7|=0,7,\\\ |3,9-3,7|=0,2,\\\ |4,1-3,7|=0,4,\\\ |4,2-3,7|=0,5,\\\ |4,2-3,7|=0,5,\\\ |5,5-3,7|=1,8. \end{array}
Somando esses valores:
1,0+0,9+0,8+0,7+0,2+0,4+0,5+0,5+1,8 = 6,8.
Divide por n=9:
\text{desvio médio} = \frac{6,8}{9} = \frac{34}{45}\approx 0,7556.é
Posso deixar em fração exata \frac{34}{45} ou em decimal aproximado 0,7556. Isso nos diz que, em média, cada medida difere da média em cerca de 0,756 mm.

Passo 9

Variância (vou usar a variância populacional, ou seja dividir por n, porque temos o conjunto completo de 9 parafusos medidos — em provas isso costuma ser o pedido; se fosse amostra usaríamos n-1, eu explico essa diferença quando necessário). A fórmula da variância populacional é
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,
onde \sigma^2 é a variância e \bar{x} a média. Já tenho os desvios x_i-\bar{x} do passo anterior; agora quadrados:
\begin{array}{l} ( -1,0)^2 = 1,00,\\\ ( -0,9)^2 = 0,81,\\\ ( -0,8)^2 = 0,64,\\\ ( -0,7)^2 = 0,49,\\\ (0,2)^2 = 0,04,\\\ (0,4)^2 = 0,16,\\\ (0,5)^2 = 0,25,\\\ (0,5)^2 = 0,25,\\\ (1,8)^2 = 3,24. \end{array}
Somando:
1,00+0,81+0,64+0,49+0,04+0,16+0,25+0,25+3,24 = 6,88.
Divide por n=9:
\sigma^2 = \frac{6,88}{9} = \frac{172}{225}\approx 0,7644.
Portanto a variância (populacional) é \approx 0,7644 mm ^2.

Passo 10

Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Fórmula:
\sigma = \sqrt{\sigma^2}.
Aplicando:
\sigma = \sqrt{\frac{172}{225}} = \frac{\sqrt{172}}{15}\approx 0,8743.
Interpretação: o desvio padrão traduz a dispersão típica das observações em torno da média; aqui, aproximadamente 0,874 mm.

Passo 11

Coeficiente de variação (CV): é a razão do desvio padrão pela média, normalmente expressa em porcentagem; mede a dispersão relativa:
\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo \sigma\approx 0,8743 e \bar{x}=3,7:
\text{CV} \approx \frac{0,8743}{3,7}\times 100\% \approx 23,63\%.
Significado prático: o desvio padrão corresponde a cerca de 23{,}6\% da média, ou seja, dispersão moderada em relação ao nível médio da espessura.

Resposta

mínimo = 2,7
máximo = 5,5
quartil Q_1 = 2,85
mediana = 3,9
quartil Q_3 = 4,2
média = 3,7
amplitude = 2,8
desvio médio = \dfrac{34}{45}\approx 0,7556
variância = \dfrac{172}{225}\approx 0,7644
desvio padrão = \dfrac{\sqrt{172}}{15}\approx 0,8743
coeficiente de variação = \approx 23,63\%

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