Exercício 7.A espessura(mm)de 9 parafusos foi mensurada e os dados obtidos foram:
Calcule as medidas descritivas:mínimo,máximo,quartis,mediana,média,amplitude,desvio médio,variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Calcule as medidas descritivas:mínimo,máximo,quartis,mediana,média,amplitude,desvio médio,variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Passo 1
O enunciado deu as medidas de espessura (em mm) de 9 parafusos:
.
As perguntas são: calcular as medidas descritivas — mínimo, máximo, quartis, mediana, média, amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Listei explicitamente os dados porque vamos ordená‑los e trabalhar com cada termo no cálculo.
As perguntas são: calcular as medidas descritivas — mínimo, máximo, quartis, mediana, média, amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Listei explicitamente os dados porque vamos ordená‑los e trabalhar com cada termo no cálculo.
Passo 2
Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (isso é necessário para achar mínimo, máximo, mediana e quartis). Ordenando temos:
Agora identifico o mínimo e o máximo: o mínimo é o primeiro elemento e o máximo é o último.
Passo 3
Mínimo e máximo:
Amplitude (range) é a diferença entre máximo e mínimo. Vou calcular na próxima etapa.
Passo 4
Amplitude:
Explicação rápida: amplitude mede a extensão total dos dados — quanto o maior valor excede o menor.
Passo 5
Mediana: como há
observações (n ímpar), a mediana é o elemento na posição
.
ou seja, a mediana é o 5.º valor da lista ordenada. Da lista ordenada acima o 5.º valor é
. Portanto
Breve lembrete didático: a mediana divide os dados em duas metades com a mesma quantidade de observações (quando
é ímpar, a mediana é exatamente um dos dados).
Passo 6
Quartis: há convenções diferentes, mas a convenção que vou usar é a mais comum em estatística descritiva (método de Tukey): quando
é ímpar, exclui‑se a mediana e calcula‑se
como a mediana da metade inferior (observações 1 a 4) e
como a mediana da metade superior (observações 6 a 9). Isso é simples e rápido de aplicar na prova. Aplicando:
- metade inferior:
. Como são 4 valores, o quartil é a média dos dois valores do meio:
- metade superior:
. O quartil é a média dos dois do meio:
Resumo:
Passo 7
Média aritmética (explicando a fórmula): a média de um conjunto de
valores
é
onde
significa “média” e cada
é uma observação. Aqui
. Vou calcular a soma e dividir por 9. Somando todos os dados (usei os valores originais):
Logo a média é
Interpretação: o valor médio de espessura medido é
mm.
Passo 8
Desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média): a fórmula é
Expliquei: usamos valor absoluto porque interessa a magnitude média do desvio, sem cancelar positivos e negativos. Calculo os desvios absolutos em relação a
:
Somando esses valores:
Divide por
:
Posso deixar em fração exata
ou em decimal aproximado
. Isso nos diz que, em média, cada medida difere da média em cerca de
mm.
Passo 9
Variância (vou usar a variância populacional, ou seja dividir por
, porque temos o conjunto completo de 9 parafusos medidos — em provas isso costuma ser o pedido; se fosse amostra usaríamos
, eu explico essa diferença quando necessário). A fórmula da variância populacional é
onde
é a variância e
a média. Já tenho os desvios
do passo anterior; agora quadrados:
Somando:
Divide por
:
Portanto a variância (populacional) é
mm
.
Passo 10
Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Fórmula:
Aplicando:
Interpretação: o desvio padrão traduz a dispersão típica das observações em torno da média; aqui, aproximadamente
mm.
Passo 11
Coeficiente de variação (CV): é a razão do desvio padrão pela média, normalmente expressa em porcentagem; mede a dispersão relativa:
Substituindo
e
:
Significado prático: o desvio padrão corresponde a cerca de
da média, ou seja, dispersão moderada em relação ao nível médio da espessura.
Resposta
mínimo =
máximo =
quartil
mediana =
quartil
média =
amplitude =
desvio médio =
variância =
desvio padrão =
coeficiente de variação =
máximo =
quartil
mediana =
quartil
média =
amplitude =
desvio médio =
variância =
desvio padrão =
coeficiente de variação =