Exercício 8.Suponha que vocé esteja interessado em avaliar a variação de preço de um determinado produto na internet.Após um levantamento em 16 sites,obteve-se os seguintes dados:
\begin{array}{llllllllllllll}3,90 & 4,20 & 3,90 & 5,10 & 4,20 & 4,50 & 4,10 & 5,10 & 4,30 & 4,20 & 4,00 & 5,20 & 4,50 & 4,20\end{array} ⿻ 一 𠃋 十, 5005,10
Para descrever o comportamento destes dados,calcule as medidas de posição(média,mediana,moda-se existir- e quartis)e dispersão(amplitudes total e interquartílica,variância,desvio-padrão e coeficiente de variação).

Passo 1

O enunciado pede que, para os dados de preço coletados em 16 sites, eu calcule medidas de posição (média, mediana, moda e quartis) e medidas de dispersão (amplitude total, amplitude interquartílica, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação).\n
Os dados informados no enunciado aparecem parcialmente com caracteres estranhos no final. Eu interpretei os valores listados e completei os dois elementos finais que pareciam ter sido corrompidos como 5,00 e 5,10, de modo que a amostra fique com n=16 observações (isso parece consistente com “16 sites”). Se você tiver os valores originais diferentes, me avise — aqui uso os valores abaixo.\n
A lista de dados que vou usar (extraída do enunciado e com os dois valores que interpretei do trecho corrompido) é:
3,90,\;4,20,\;3,90,\;5,10,\;4,20,\;4,50,\;4,10,\;5,10,\;4,30,\;4,20,\;4,00,\;5,20,\;4,50,\;4,20,\;5,00,\;5,10
Número de observações: n=16.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente — isso facilita mediana, quartis e algumas somas. A amostra ordenada é:
\begin{array}{llllllll} 3,90,&3,90,&4,00,&4,10,&4,20,&4,20,&4,20,&4,20,\\\\ 4,30,&4,50,&4,50,&5,00,&5,10,&5,10,&5,10,&5,20 \end{array}
(índices 1 a 16 da esquerda para a direita).

Passo 3

Média aritmética: explicação rápida e fórmula.\n
A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se chamarmos os dados de x_1,\dots,x_n, a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde n é o número de observações e \bar{x} é a média amostral.\n
Vamos somar os valores agrupando por valores iguais (para ficar mais rápido):
\begin{aligned} \text{soma} &= 2\cdot 3,90 + 1\cdot 4,00 + 1\cdot 4,10 + 4\cdot 4,20 + 1\cdot 4,30 \\\ &\quad + 2\cdot 4,50 + 1\cdot 5,00 + 3\cdot 5,10 + 1\cdot 5,20 \\\ &=7,80+4,00+4,10+16,80+4,30+9,00+5,00+15,30+5,20 \\\ &=71,50. \end{aligned}
Logo
\bar{x}=\frac{71,50}{16}=4,46875.

Passo 4

Mediana: explicação e cálculo.\n
Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais: posições n/2 e n/2+1. Aqui n=16, então posições 8 e 9.\n
Na amostra ordenada, a 8^\text{a} observação é 4,20 e a 9^\text{a} é 4,30. Portanto
\text{mediana}=\frac{4,20+4,30}{2}=4,25.

Passo 5

Moda: explicação e cálculo.\n
Moda é o valor que aparece com maior frequência (pico na distribuição). Contando ocorrências vemos que 4,20 aparece 4 vezes, que é a maior frequência. Não há outro valor com frequência igual.\n
Portanto a moda é 4,20.

Passo 6

Quartis: método e cálculo.\n
Vou usar o método clássico elementar: como n é par, dividimos a amostra ordenada em duas metades sem incluir a mediana (aqui a mediana é média dos elementos 8 e 9, então a metade inferior são as posições 1 a 8 e a superior 9 a 16). O primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior; o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior.\n
Metade inferior (posições 1 a 8):
3,90,\;3,90,\;4,00,\;4,10,\;4,20,\;4,20,\;4,20,\;4,20.
Como há 8 valores, Q_1 é a média do 4^\text{o} e 5^\text{o} desta metade, isto é de 4,10 e 4,20:
Q_1=\frac{4,10+4,20}{2}=4,15.
Metade superior (posições 9 a 16):
4,30,\;4,50,\;4,50,\;5,00,\;5,10,\;5,10,\;5,10,\;5,20.
Aqui Q_3 é a média do 4^\text{o} e 5^\text{o} desta metade, isto é de 5,00 e 5,10:
Q_3=\frac{5,00+5,10}{2}=5,05.
Já vimos Q_2= mediana =4,25.

Passo 7

Amplitude total e amplitude interquartílica.\n
Amplitude total (range) é o máximo menos o mínimo:
\text{amplitude total}=5,20-3,90=1,30.
Amplitude interquartílica (IQR) é Q_3-Q_1:
\text{IQR}=5,05-4,15=0,90.

Passo 8

Variância: definição, escolha e cálculo.\n
Há duas definições comuns: variância populacional \sigma^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\mu)^2 e variância amostral (não viciada) s^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2. Como estamos com uma amostra de sites e queremos estimar a variabilidade da população, uso a variância amostral s^2 com denominador n-1.\n
Fórmula usada:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x}=4,46875.\n
Para facilitar, calculei as somas dos quadrados dos desvios agrupando valores iguais. O somatório das diferenças ao quadrado ficou
\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})^2=3,334375.
Portanto
s^2=\frac{3,334375}{16-1}=\frac{3,334375}{15}=0,2222916667\\ (\text{aprox.}).

Passo 9

Desvio-padrão: definição e cálculo.\n
O desvio-padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0,2222916667}\approx 0,47148.
O desvio-padrão tem as mesmas unidades dos dados (aqui, reais) e mede a dispersão média em torno da média.

Passo 10

Coeficiente de variação: definição e cálculo.\n
O coeficiente de variação (CV) é o desvio-padrão relativo à média, geralmente expresso em porcentagem:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo s\approx 0,47148 e \bar{x}=4,46875:
\text{CV}\approx\frac{0,47148}{4,46875}\times 100\%\approx 10,55\%.

Resposta

Média: 4,46875 \n
Mediana: 4,25 \n
Moda: 4,20 \n
Quartis: Q_1=4,15, Q_2=4,25, Q_3=5,05 \n
Amplitude total: 1,30 \n
Amplitude interquartílica (IQR): 0,90 \n
Variância (amostral) s^2: 0,2222916667 \n
Desvio-padrão (amostral) s: 0,47148 \n
Coeficiente de variação: 10,55\%

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