Exercício 8.Suponha que vocé esteja interessado em avaliar a variação de preço de um determinado produto na internet.Após um levantamento em 16 sites,obteve-se os seguintes dados:
Para descrever o comportamento destes dados,calcule as medidas de posição(média,mediana,moda-se existir- e quartis)e dispersão(amplitudes total e interquartílica,variância,desvio-padrão e coeficiente de variação).
Para descrever o comportamento destes dados,calcule as medidas de posição(média,mediana,moda-se existir- e quartis)e dispersão(amplitudes total e interquartílica,variância,desvio-padrão e coeficiente de variação).
Passo 1
O enunciado pede que, para os dados de preço coletados em
sites, eu calcule medidas de posição (média, mediana, moda e quartis) e medidas de dispersão (amplitude total, amplitude interquartílica, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação).\n
Os dados informados no enunciado aparecem parcialmente com caracteres estranhos no final. Eu interpretei os valores listados e completei os dois elementos finais que pareciam ter sido corrompidos como e
, de modo que a amostra fique com
observações (isso parece consistente com “16 sites”). Se você tiver os valores originais diferentes, me avise — aqui uso os valores abaixo.\n
A lista de dados que vou usar (extraída do enunciado e com os dois valores que interpretei do trecho corrompido) é:
Os dados informados no enunciado aparecem parcialmente com caracteres estranhos no final. Eu interpretei os valores listados e completei os dois elementos finais que pareciam ter sido corrompidos como
A lista de dados que vou usar (extraída do enunciado e com os dois valores que interpretei do trecho corrompido) é:
Número de observações:
.
Passo 2
Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente — isso facilita mediana, quartis e algumas somas. A amostra ordenada é:
(índices
a
da esquerda para a direita).
Passo 3
Média aritmética: explicação rápida e fórmula.\n
A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se chamarmos os dados de , a média é
A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se chamarmos os dados de
onde
é o número de observações e
é a média amostral.\n
Vamos somar os valores agrupando por valores iguais (para ficar mais rápido):
Vamos somar os valores agrupando por valores iguais (para ficar mais rápido):
Logo
Passo 4
Mediana: explicação e cálculo.\n
Para par, a mediana é a média dos dois valores centrais: posições
e
. Aqui
, então posições
e
.\n
Na amostra ordenada, a observação é
e a
é
. Portanto
Para
Na amostra ordenada, a
Passo 5
Moda: explicação e cálculo.\n
Moda é o valor que aparece com maior frequência (pico na distribuição). Contando ocorrências vemos que aparece
vezes, que é a maior frequência. Não há outro valor com frequência igual.\n
Portanto a moda é .
Moda é o valor que aparece com maior frequência (pico na distribuição). Contando ocorrências vemos que
Portanto a moda é
Passo 6
Quartis: método e cálculo.\n
Vou usar o método clássico elementar: como é par, dividimos a amostra ordenada em duas metades sem incluir a mediana (aqui a mediana é média dos elementos 8 e 9, então a metade inferior são as posições
a
e a superior
a
). O primeiro quartil
é a mediana da metade inferior; o terceiro quartil
é a mediana da metade superior.\n
Metade inferior (posições a
):
Vou usar o método clássico elementar: como
Metade inferior (posições
Como há 8 valores,
é a média do
e
desta metade, isto é de
e
:
Metade superior (posições
a
):
Aqui
é a média do
e
desta metade, isto é de
e
:
Já vimos
mediana
.
Passo 7
Amplitude total e amplitude interquartílica.\n
Amplitude total (range) é o máximo menos o mínimo:
Amplitude total (range) é o máximo menos o mínimo:
Amplitude interquartílica (IQR) é
:
Passo 8
Variância: definição, escolha e cálculo.\n
Há duas definições comuns: variância populacional e variância amostral (não viciada)
. Como estamos com uma amostra de sites e queremos estimar a variabilidade da população, uso a variância amostral
com denominador
.\n
Fórmula usada:
Há duas definições comuns: variância populacional
Fórmula usada:
onde
.\n
Para facilitar, calculei as somas dos quadrados dos desvios agrupando valores iguais. O somatório das diferenças ao quadrado ficou
Para facilitar, calculei as somas dos quadrados dos desvios agrupando valores iguais. O somatório das diferenças ao quadrado ficou
Portanto
Passo 9
Desvio-padrão: definição e cálculo.\n
O desvio-padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral:
O desvio-padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral:
O desvio-padrão tem as mesmas unidades dos dados (aqui, reais) e mede a dispersão média em torno da média.
Passo 10
Coeficiente de variação: definição e cálculo.\n
O coeficiente de variação (CV) é o desvio-padrão relativo à média, geralmente expresso em porcentagem:
O coeficiente de variação (CV) é o desvio-padrão relativo à média, geralmente expresso em porcentagem:
Substituindo
e
:
Resposta
Média:
\n
Mediana: \n
Moda: \n
Quartis: ,
,
\n
Amplitude total: \n
Amplitude interquartílica (IQR): \n
Variância (amostral) :
\n
Desvio-padrão (amostral) :
\n
Coeficiente de variação:
Mediana:
Moda:
Quartis:
Amplitude total:
Amplitude interquartílica (IQR):
Variância (amostral)
Desvio-padrão (amostral)
Coeficiente de variação: