Nos exercício 11 a 15 é dado \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L. Determinar um número \delta para o \varepsilon dado tal que |f(x)-L|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta.
12-\lim _{x \rightarrow-1}(-3 x+7)=10, \quad \varepsilon=0,5
|-3 x+7-10|<\varepsilon sempre que 0<|x-(-1)|<\delta
Temos
|-3 x-3|=|-3(x+1)|=|-3||x+1|=3|x+1|
Então
3|x+1|<\varepsilon sempre que 0<|x+1|<\delta
Basta fazer \delta=\frac{\varepsilon}{3}=\frac{0,5}{3}=0,166 \ldots

Passo 1

O enunciado pede que, para a função f(x)=-3x+7, com a=-1 e limite L=10, encontremos um \delta>0 tal que
|f(x)-L|<\varepsilon=0,5
sempre que 0<|x-(-1)|<\delta.

Passo 2

Começamos escrevendo
|f(x)-10| = |-3x+7-10| = |-3x-3| = 3\,|x+1|.

Passo 3

Para garantir 3\,|x+1|<\varepsilon basta exigir
|x+1|<\frac{\varepsilon}{3}.
Portanto, uma escolha natural é
\delta = \frac{\varepsilon}{3}.

Passo 4

Substituindo \varepsilon=0,5, obtemos
\delta = \frac{0,5}{3} = \frac{1}{6} \approx 0,1666\ldots

Resposta

\displaystyle \delta = \frac{1}{6}.

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