Nos exercício 11 a 15 é dado \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L. Determinar um número \delta para o \varepsilon dado tal que |f(x)-L|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta.
15-\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2 \quad \varepsilon=0,75
Dado \varepsilon=0,75 existe um \delta>0 tal que
\left|\frac{x^{2}-1}{x-1}-2\right|<\varepsilon sempre que 0<|x-1|<\delta
\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}-2\right|=|x-1|<\varepsilon, para x \neq 1.
Basta fazer \delta=\varepsilon=0,75

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}
com
\lim_{x\to1}f(x)=2,
e dado \varepsilon=0,75, a gente encontre um \delta>0 tal que
0<|x-1|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|f(x)-2\bigr|<0,75.

Passo 2

Pela definição de limite, dizer que \lim_{x\to1}f(x)=2 significa: para cada \varepsilon>0 existe um \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-1|<\delta,
então
\bigl|f(x)-2\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Note que, para x\neq1, a fração se simplifica:
\frac{x^{2}-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.

Passo 4

Substituindo em \bigl|f(x)-2\bigr|, temos
\bigl|\tfrac{x^{2}-1}{x-1}-2\bigr| =|x+1-2| =|x-1|.

Passo 5

Queremos |x-1|<0,75. Logo, basta escolher
\delta=0,75.
Assim, sempre que 0<|x-1|<\delta teremos \bigl|f(x)-2\bigr|=|x-1|<0,75.

Resposta

\delta=0,75

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