Mostrar que existe o limite de f(x)=4 x-5 em x=3 e que é igual a 7.
Queremos mostrar que \lim _{x \rightarrow 3}(4 x-5)=7
Dado \varepsilon>0, devemos mostrar que existe um \delta>0 tal que
|4 x-5-7|<\varepsilon sempre que 0<|x-3|<\delta.
Temos,
|4 x-5-7|=|4 x-12|=|4(x-3)|=4|x-3|.
Assim, devemos ter 4|x-3|<\varepsilon sempre que 0<|x-3|<\delta.
Portanto, basta fazer \delta=\frac{\varepsilon}{4}.
Observamos que qualquer \delta \leq \frac{\varepsilon}{4} poderia ser tomado.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε–δ de limite, que a função
f(x)=4x-5
possui
\lim_{x\to3}f(x)=7.
Ou seja, dado qualquer \varepsilon>0, devemos encontrar um \delta>0 tal que
0<|x-3|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |(4x-5)-7|<\varepsilon.

Passo 2

Calcular a diferença em módulo entre f(x) e o valor do limite proposto:
|f(x)-7| =|4x-5-7| =|4x-12| =4\,|x-3|.
Portanto, a condição |f(x)-7|<\varepsilon equivale a
4\,|x-3|<\varepsilon.

Passo 3

Para garantir 4\,|x-3|<\varepsilon, basta escolher
\delta=\frac{\varepsilon}{4}.
Então, sempre que 0<|x-3|<\delta, temos
|f(x)-7|=4\,|x-3|<4\cdot\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon.

Passo 4

Mostramos que, para todo \varepsilon>0, existe \delta=\varepsilon/4 que faz
0<|x-3|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-7|<\varepsilon.
Isso prova rigorosamente que
\lim_{x\to3}(4x-5)=7.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3}(4x-5)=7.

Exercícios relacionados