Mostrar que:
Se g é uma função racional e a \in D(g), então \lim _{x \rightarrow a} g(x)=g(a)
Se g é uma função racional ela é da forma
g(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, onde P(x) e Q(x) são polinômios reais e D(g)=\{x / x \in R e Q(x) \neq 0\}
Assim,
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow a} g(x) & =\lim _{x \rightarrow a} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} P(x)}{\lim _{x \rightarrow a} Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)} \\\ & =g(a) \text { já que } a \in D(g), \text { e, portanto, } Q(a) \neq 0 . \end{aligned}á

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função racional é contínua em cada ponto do seu domínio. Em outras palavras, se \,g(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} com P e Q polinômios reais e a\in D(g) (ou seja, Q(a)\neq0), então
\lim_{x\to a}g(x)=g(a).
Para isso, vamos usar que polinômios são funções contínuas em \mathbb{R} e a regra do limite do quociente.

Passo 2

Como g é racional, podemos escrevê-la como
g(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},
onde P e Q são polinômios. O domínio de g é
D(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid Q(x)\neq0\}.
Dado a\in D(g), temos Q(a)\neq0.

Passo 3

Sabemos que todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Logo,
\lim_{x\to a}P(x)=P(a), \qquad \lim_{x\to a}Q(x)=Q(a)\neq0.

Passo 4

Pela regra de limite do quociente (válida sempre que o limite do denominador for não nulo), obtemos
\lim_{x\to a}g(x) =\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{\lim_{x\to a}P(x)}{\lim_{x\to a}Q(x)} =\frac{P(a)}{Q(a)}.

Passo 5

Como \frac{P(a)}{Q(a)}=g(a), concluímos que
\lim_{x\to a}g(x)=g(a),
mostrando que g é contínua em a.

Resposta

\lim_{x\to a}g(x)=g(a).

Exercícios relacionados