Um pósitron (elétron de carga positiva) de
é projetado num campo magnético uniforme com
, e seu vetor velocidade faz um ângulo de
com
. Determine: (a) o período, (b) o passo, e (c) o raio r da trajetória helicoidal. (d) faça um esboço da trajetória.
resp.:(a)
(b)
(c)
resp.:(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado; a figura está anexada e descrevo-a na seção de imagens).
- Dados numéricos:
- Energia cinética do pósitron:
. - Campo magnético:
. - Ângulo entre o vetor velocidade
e : .
- Energia cinética do pósitron:
- Constantes que vou usar (valores padrão):
- Carga elementar:
. - Massa do elétron/positron:
. - Velocidade da luz para checar relatividade:
.
- Carga elementar:
- O enunciado pede:
- (a) o período
da rotação circular associada ao movimento perpendicular; - (b) o passo
da hélice (distância percorrida ao longo de num período); - (c) o raio
da trajetória helicoidal; - (d) um esboço da trajetória.
- (a) o período
Passo 2
Transformar energia em joules e calcular a velocidade total
.
Primeiro converto a energia para joules usando :
Primeiro converto a energia para joules usando
Assumo movimento não-relativístico (verifico depois). A relação entre energia cinética e velocidade é
onde
é a massa do pósitron (igual à do elétron) e
é a velocidade total. Isolando
,
Substituindo os valores:
Cheque rápido da hipótese não-relativística:
. Logo a aproximação não-relativística é válida.
Passo 3
Decompor a velocidade em componentes perpendicular e paralela a
.
Definições:
Definições:
onde
é o ângulo entre
e
. Com
(uso valores de seno e cosseno):
Portanto
Passo 4
Encontrar o período
da circulação (movimento circular devido a
).
A força magnética é e, para a componente perpendicular, produz movimento circular com velocidade angular (frequência ciclotrônica)
A força magnética é
onde
é a carga do pósitron (positiva e igual a
). O período é
Calculo numérico de
:
Então
(Isto coincide com o valor aproximado
fornecido.)
Passo 5
Calcular o passo
da hélice (a distância ao longo do eixo
que o pósitron percorre em um período).
Por definição,
Por definição,
Substituindo os valores obtidos:
Arredondando,
, consistente com o valor aproximado
dado.
Passo 6
Calcular o raio
da trajectória circular associada a
.
Equilíbrio centrípeto: ou, mais diretamente,
Equilíbrio centrípeto:
Substituindo numericamente:
Portanto
(ou
). Observação: o enunciado mostra como resposta
. esse valor seria cerca de 10 vezes maior; a diferença ocorre se o campo tivesse sido
em vez de
. Com o
informado no enunciado (
), o cálculo acima é o correto.
Passo 7
Esboço da trajetória (instruções para desenhar à mão, passo a passo, e interpretação física):
- Desenhe um eixo vertical e marque uma seta para cima com rótulo
(campo magnético uniforme apontando para cima, conforme a figura). - A trajetória é uma hélice de raio
ao redor desse eixo. Cada volta da hélice é um círculo de raio no plano perpendicular a . - A distância entre duas voltas sucessivas ao longo do eixo
é o passo . Marque esse segmento vertical entre duas voltas e escreva . - Como a carga é positiva, a direção de rotação vista de cima segue a regra da mão direita (o sentido de curvatura está tal que
dá a força centrípeta). No desenho fornecido a hélice sobe (ou desce) conforme o sinal e a componente . - Indique no desenho o vetor velocidade inicial
formando o ângulo com , e marque as componentes (tangencial ao círculo) e (paralela a ).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)