Um pósitron (elétron de carga positiva) de 22,5 \mathrm{eV} é projetado num campo magnético uniforme com B=455 \mathrm{mT}, e seu vetor velocidade faz um ângulo de 65,5^{\circ} com B. Determine: (a) o período, (b) o passo, e (c) o raio r da trajetória helicoidal. (d) faça um esboço da trajetória.
resp.:(a) T \approx 7,9 \times 10^{-11} \mathrm{~s} (b) p \approx 9,3 \times 10^{-5} \mathrm{~m} (c) r \approx 3,1 \times 10^{-4} \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado; a figura está anexada e descrevo-a na seção de imagens).
  • Dados numéricos:
    • Energia cinética do pósitron: E=22{,}5\\ \mathrm{eV}.
    • Campo magnético: B=455\\ \mathrm{mT}=0{,}455\\ \mathrm{T}.
    • Ângulo entre o vetor velocidade v e B: \theta=65{,}5^\circ.
  • Constantes que vou usar (valores padrão):
    • Carga elementar: q=e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Massa do elétron/positron: m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade da luz para checar relatividade: c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • O enunciado pede:
    • (a) o período T da rotação circular associada ao movimento perpendicular;
    • (b) o passo p da hélice (distância percorrida ao longo de B num período);
    • (c) o raio r da trajetória helicoidal;
    • (d) um esboço da trajetória.

Passo 2

Transformar energia em joules e calcular a velocidade total v.
Primeiro converto a energia para joules usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E = 22{,}5\times1{,}602176634\times10^{-19} = 3{,}6049\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Assumo movimento não-relativístico (verifico depois). A relação entre energia cinética e velocidade é
E=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde m é a massa do pósitron (igual à do elétron) e v é a velocidade total. Isolando v,
v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}.
Substituindo os valores:
v=\sqrt{\dfrac{2\times3{,}6049\times10^{-18}}{9{,}10938356\times10^{-31}}} \approx 2{,}813\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Cheque rápido da hipótese não-relativística: v/c\approx 2{,}813\times10^{6}/3{,}0\times10^{8}\approx0{,}0094\ll1. Logo a aproximação não-relativística é válida.

Passo 3

Decompor a velocidade em componentes perpendicular e paralela a B.
Definições:
v_{\perp}=v\sin\theta,\qquad v_{\parallel}=v\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre v e B. Com \theta=65{,}5^\circ (uso valores de seno e cosseno):
\sin65{,}5^\circ\approx0{,}90964,\qquad \cos65{,}5^\circ\approx0{,}41540.
Portanto
v_{\perp}\approx 2{,}813\times10^{6}\times0{,}90964\approx 2{,}559\times10^{6}\\ \mathrm{m/s},
v_{\parallel}\approx 2{,}813\times10^{6}\times0{,}41540\approx 1{,}168\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Encontrar o período T da circulação (movimento circular devido a v_{\perp}).
A força magnética é \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} e, para a componente perpendicular, produz movimento circular com velocidade angular (frequência ciclotrônica)
\omega=\dfrac{qB}{m},
onde q é a carga do pósitron (positiva e igual a e). O período é
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi m}{qB}.
Calculo numérico de \omega:
\omega=\dfrac{1{,}602176634\times10^{-19}\times0{,}455}{9{,}10938356\times10^{-31}} \approx 8{,}0007\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.
Então
T=\dfrac{2\pi}{8{,}0007\times10^{10}}\approx 7{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm{s}.
(Isto coincide com o valor aproximado 7{,}9\times10^{-11}\\ \mathrm{s} fornecido.)

Passo 5

Calcular o passo p da hélice (a distância ao longo do eixo B que o pósitron percorre em um período).
Por definição,
p=v_{\parallel}\,T.
Substituindo os valores obtidos:
p\approx 1{,}168\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}\times 7{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm{s} \approx 9{,}17\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Arredondando, p\approx 9{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, consistente com o valor aproximado 9{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{m} dado.

Passo 6

Calcular o raio r da trajectória circular associada a v_{\perp}.
Equilíbrio centrípeto: q v_{\perp} B = m v_{\perp}^{2}/r ou, mais diretamente,
r=\dfrac{m v_{\perp}}{qB}.
Substituindo numericamente:
r=\dfrac{9{,}10938356\times10^{-31}\times 2{,}559\times10^{6}}{1{,}602176634\times10^{-19}\times0{,}455} \approx 3{,}20\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Portanto r\approx 3{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (ou 3{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}). Observação: o enunciado mostra como resposta r\approx3{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. esse valor seria cerca de 10 vezes maior; a diferença ocorre se o campo tivesse sido B=45{,}5\\ \mathrm{mT} em vez de 455\\ \mathrm{mT}. Com o B informado no enunciado ( 0{,}455\\ \mathrm{T}), o cálculo acima é o correto.

Passo 7

Esboço da trajetória (instruções para desenhar à mão, passo a passo, e interpretação física):
  • Desenhe um eixo vertical e marque uma seta para cima com rótulo \vec{B} (campo magnético uniforme apontando para cima, conforme a figura).
  • A trajetória é uma hélice de raio r ao redor desse eixo. Cada volta da hélice é um círculo de raio r no plano perpendicular a B.
  • A distância entre duas voltas sucessivas ao longo do eixo B é o passo p. Marque esse segmento vertical entre duas voltas e escreva p.
  • Como a carga é positiva, a direção de rotação vista de cima segue a regra da mão direita (o sentido de curvatura está tal que \vec{v}\times\vec{B} dá a força centrípeta). No desenho fornecido a hélice sobe (ou desce) conforme o sinal e a componente v_{\parallel}.
  • Indique no desenho o vetor velocidade inicial \vec{v} formando o ângulo \theta=65{,}5^\circ com B, e marque as componentes v_{\perp} (tangencial ao círculo) e v_{\parallel} (paralela a B).

Resposta

(a) T\approx 7{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm{s}
(b) p\approx 9{,}17\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
(c) r\approx 3{,}20\times10^{-5}\\ \mathrm{m}

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