Exercício 11 (D.L.5.35)
Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo x^prime=-nabla V(x), onde V: R^n R é dada por
(a) V(x1, x2)=x1^2+2 x2^2

Passo 1

Temos o campo de gradiente reverso
x'=-nabla V(x),
com V:R^2toR dada por
V(x1,x2)=x1^2+2x2^2
O objetivo é encontrar as singularidades (pontos de equilíbrio), classificar cada uma em estáveis, assintoticamente estáveis ou instáveis, e desenhar o retrato de fase. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos, linearização para classificação por autovalores, e interpretar V como função de Lyapunov para assegurar estabilidade.

Passo 2

Calculamos o gradiente de V. Temos
nabla V(x1,x2) = partial Vpartial x1[6pt] partial Vpartial x2 = 2,x1[3pt] 4,x2
Para achar as singularidades, resolvemos
nabla V(x1,x2)=0 Longrightarrow 2x1=0,;;4x2=0
logo o único ponto crítico é
(x1,x2)=(0,0)
]

Passo 3

Linearizamos o sistema em torno de (0,0). A matriz jacobiana de f(x)=-nabla V(x) é
Df(x) =-D^2V(x) =-2&00&4 = -2&00&-4
Seus autovalores são lambda1=-2 e lambda2=-4, ambos reais e negativos. Portanto, linearmente (0,0) é um nó estável atrator (sink), ou seja, é assintoticamente estável.

Passo 4

Como V é positiva definida e
dot V(x) =lang<=nabla V(x),x'rang<= =lang<=nabla V(x),-nabla V(x)rang<= =-|nabla V(x)|^2 =-l(4x1^2+16x2^2r)<0 para xneq0,
segue que V é uma função de Lyapunov estrita, garantindo estabilidade e atração global ao ponto (0,0). No retrato de fase, todas as trajetórias correm em direção ao nó na origem; as curvas de nível de V são elipses
x1^2+2x2^2=c,
e as setas indicam movimento perpendicular decrescente a essas elipses, apontando para a origem.

Resposta

A única singularidade é (0,0), classificada como ponto de equilíbrio assintoticamente estável (nó atrator). O retrato de fase mostra todas as trajetórias convergindo ao nó na origem, com curvas de nível elípticas de V.

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