Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo , onde é dada por
(a)
Passo 1
Temos o campo de gradiente reverso
com dada por
O objetivo é encontrar as singularidades (pontos de equilíbrio), classificar cada uma em estáveis, assintoticamente estáveis ou instáveis, e desenhar o retrato de fase. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos, linearização para classificação por autovalores, e interpretar como função de Lyapunov para assegurar estabilidade.
Passo 2
Calculamos o gradiente de . Temos
Para achar as singularidades, resolvemos
nabla V(x1,x2)=0 Longrightarrow 2x1=0,;;4x2=0
logo o único ponto crítico é
(x1,x2)=(0,0)
]
Passo 3
Linearizamos o sistema em torno de (0,0). A matriz jacobiana de f(x)=-nabla V(x) é
Df(x) =-D^2V(x) =-2&00&4 = -2&00&-4
Seus autovalores são lambda1=-2 e lambda2=-4, ambos reais e negativos. Portanto, linearmente (0,0) é um nó estável atrator (sink), ou seja, é assintoticamente estável.
segue que V é uma função de Lyapunov estrita, garantindo estabilidade e atração global ao ponto (0,0). No retrato de fase, todas as trajetórias correm em direção ao nó na origem; as curvas de nível de V são elipses
x1^2+2x2^2=c,
e as setas indicam movimento perpendicular decrescente a essas elipses, apontando para a origem.
Resposta
A única singularidade é (0,0), classificada como ponto de equilíbrio assintoticamente estável (nó atrator). O retrato de fase mostra todas as trajetórias convergindo ao nó na origem, com curvas de nível elípticas de V.