Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo , onde é dada por
(b)
Passo 1
O enunciado pede as singularidades (pontos de equilíbrio) e sua classificação no sistema
com
Para resolver precisamos: . Calcular e escrever o campo vetorial . . Encontrar pontos onde . . Linearizar o sistema em cada ponto de equilíbrio e obter a matriz Jacobiana. . Calcular autovalores dessa matriz para classificar cada equilíbrio. . Desenhar qualitativamente o retrato de fase, lembrando que cada ponto hiperbólico será um “sela”.
Passo 2
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de
Temos
Logo o campo é
]
Passo 3
Equilíbrios satisfazem e , ou seja
Da segunda equação vem
Como , a primeira equação força .
Portanto os pontos de equilíbrio são
Passo 4
Vamos linearizar em . A Jacobiana de é
Avaliando em (x1,x2)=(kpi,0), onde sen(kpi)=0 e cos(kpi)=(-1)^k, obtém-se
Como há sempre um autovalor positivo e outro negativo, cada equilíbrio é um ponto de sela (hiperbólico) e, portanto, instável.
Passo 6
Conclusão da classificação:
Singularidades: ,(kpi,0),;kinZ
Todas são selas hiperbólicas, logo instáveis.
Não há pontos assintoticamente estáveis nem estáveis (sinks ou centros).
Passo 7
Retrato de fase qualitativo:
Ao longo do eixo x2=0, nos pontos x1=kpi ocorrem selas. Em cada sela, as separatrizes formam ângulos de 45^circ (mudando de orientação conforme k par ou ímpar), e fora dessas linhas as trajetórias são repelidas do equilíbrio numa direção e atraídas na outra. Esse padrão se repete periodicamente em x1.
Resposta
Singularidades em (kpi,0), kinZ, todas selas hiperbólicas (instáveis). O retrato de fase é uma cadeia periódica de selas ao longo do eixo x2=0.