Exercício 11 (D.L.5.35)
Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo x^prime=-nabla V(x), onde V: R^n R é dada por
(b) V(x1, x2)=x2 sen(x1)

Passo 1

O enunciado pede as singularidades (pontos de equilíbrio) e sua classificação no sistema
x'=-nabla V(x), x=(x1,x2)inR^2,
com
V(x1,x2)=x2,sen(x1)
Para resolver precisamos:
1. Calcular nabla V e escrever o campo vetorial f(x)=-nabla V(x).
2. Encontrar pontos onde f(x)=0.
3. Linearizar o sistema em cada ponto de equilíbrio e obter a matriz Jacobiana.
4. Calcular autovalores dessa matriz para classificar cada equilíbrio.
5. Desenhar qualitativamente o retrato de fase, lembrando que cada ponto hiperbólico será um “sela”.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas parciais de
V(x1,x2)=x2sen(x1)
Temos
partial Vpartial x1 = x2cos(x1), partial Vpartial x2 = sen(x1)
Logo o campo é
f(x)= f1(x)[6pt] f2(x) =-nabla V(x) = -,x2cos(x1)[6pt] -,sen(x1) ]

Passo 3

Equilíbrios satisfazem f1=0 e f2=0, ou seja
-,x2cos(x1)=0, -,sen(x1)=0
Da segunda equação vem
sen(x1)=0 ;Longrightarrow; x1=kpi, kinZ
Como cos(kpi)=(-1)^kneq0, a primeira equação força x2=0.
Portanto os pontos de equilíbrio são
(x1,x2)=(kpi,0), kinZ

Passo 4

Vamos linearizar em (kpi,0). A Jacobiana de f é
Df(x)= partial f1partial x1 & partial f1partial x2[6pt] partial f2partial x1 & partial f2partial x2 = x2sen(x1) & -cos(x1)[6pt] -cos(x1) & 0
Avaliando em (x1,x2)=(kpi,0), onde sen(kpi)=0 e cos(kpi)=(-1)^k, obtém-se
Df(kpi,0) = 0 & -(-1)^k[4pt] -(-1)^k & 0 = 0 & (-1)^,k+1[4pt] (-1)^,k+1 & 0 ]

Passo 5

Os autovalores lambda satisfazem
detl(Df(kpi,0)-lambda Ir) =lambda^2-l[(-1)^,k+1r]^2 =lambda^2-1 =0 ;Longrightarrow; lambda=pm1
Como há sempre um autovalor positivo e outro negativo, cada equilíbrio é um ponto de sela (hiperbólico) e, portanto, instável.

Passo 6

Conclusão da classificação:
  • Singularidades:
    ,(kpi,0),;kinZ
  • Todas são selas hiperbólicas, logo instáveis.
    Não há pontos assintoticamente estáveis nem estáveis (sinks ou centros).

Passo 7

Retrato de fase qualitativo:
Ao longo do eixo x2=0, nos pontos x1=kpi ocorrem selas. Em cada sela, as separatrizes formam ângulos de 45^circ (mudando de orientação conforme k par ou ímpar), e fora dessas linhas as trajetórias são repelidas do equilíbrio numa direção e atraídas na outra. Esse padrão se repete periodicamente em x1.

Resposta

Singularidades em (kpi,0), kinZ, todas selas hiperbólicas (instáveis). O retrato de fase é uma cadeia periódica de selas ao longo do eixo x2=0.

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