Problema 26 Dada a função quadrática f(x)=m x^2+(2 m-1) x+(m+1), determine m de modo que a seja positiva para todo x real.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=m x^2 + (2m-1)x + (m+1)
e pede o valor de m para que f(x)>0 para todo xinR.
O conteúdo aqui é análise de sinal de uma quadrática, que usa dois critérios: o coeficiente de x^2 deve ser positivo e o discriminante deve ser negativo.

Passo 2

Para que a parábola abra para cima (e possa ser positiva em todo x), o coeficiente de x^2 deve satisfazer
m > 0

Passo 3

O discriminante de f é
De<a = (2m-1)^2 - 4cdot m cdot (m+1)
Vamos simplificar:
(2m-1)^2 = 4m^2 - 4m + 1,
4m(m+1) = 4m^2 + 4m,
logo
De<a = l(4m^2 - 4m + 1r) - l(4m^2 + 4mr) = -8m + 1
Para f(x) ser sempre positiva, precisamos de
De<a < 0 Longrightarrow -8m + 1 < 0 Longrightarrow m > tfrac18

Passo 4

Concluindo, as duas condições são
m > 0 e m > tfrac18,
cuja interseção é
m > tfrac18

Resposta

m > tfrac18

Exercícios relacionados