Exercício 11. (Apostol, capítulo 8.9, exercício 21) Um conjunto é convexo se para todo e em e , temos que .
a) Mostre que toda bola aberta em é um conjunto convexo.
b) Seja um conjunto aberto e convexo de . Mostre que se é diferenciável e para todo e em , então é uma função constante.
Passo 1
O enunciado trabalha com a definição de conjunto convexo em : dizemos que é convexo se, para quaisquer e qualquer , tivermos
Precisamos provar duas coisas:
Toda bola aberta em é convexa.
Se é aberto e convexo e é diferenciável com todas as derivadas direcionais nulas, então é constante.
Passo 2
Prova de (a). Seja uma bola aberta de centro e raio . Tomemos quaisquer e . Então
Logo t,x+(1-t),yin B, e B é convexo.
Passo 3
Prova de (b). Suponha S aberto e convexo e fcolon StoR diferenciável com partial fpartial v(x)=0 para todo xin S e todo vetor v. Dados x,yin S, considere a aplicação
phicolon[0,1]toR, phi(t)=fl(t,x+(1-t),yr)
Como S é convexo, o ponto t,x+(1-t),y fica em S para todo t. Pela regra da cadeia,