Exercício 11. (Apostol, capítulo 8.9, exercício 21) Um conjunto S subset R^n é convexo se para todo x e y em S e t in[0,1], temos que t x+(1-t) y in S.
a) Mostre que toda bola aberta em R^n é um conjunto convexo.
b) Seja S um conjunto aberto e convexo de R^n. Mostre que se f: S R é diferenciável e partial fpartial v(x)=0 para todo x e v em S, então f é uma função constante.

Passo 1

O enunciado trabalha com a definição de conjunto convexo em R^n: dizemos que SsubsetR^n é convexo se, para quaisquer x,yin S e qualquer tin[0,1], tivermos
t,x + (1-t),y in S
Precisamos provar duas coisas:
  1. Toda bola aberta em R^n é convexa.
  2. Se S é aberto e convexo e fcolon StoR é diferenciável com todas as derivadas direcionais nulas, então f é constante.

Passo 2

Prova de (a). Seja B = ,xinR^n mid |x-c|<r uma bola aberta de centro c e raio r>0. Tomemos quaisquer x,yin B e tin[0,1]. Então
l|,t,x + (1-t),y ;-; cr| = l|,t,(x-c) + (1-t),(y-c)r| <= t,|x-c| ;+;(1-t),|y-c| < t,r + (1-t),r = r
Logo t,x+(1-t),yin B, e B é convexo.

Passo 3

Prova de (b). Suponha S aberto e convexo e fcolon StoR diferenciável com
partial fpartial v(x)=0 para todo xin S e todo vetor v. Dados x,yin S, considere a aplicação
phicolon[0,1]toR, phi(t)=fl(t,x+(1-t),yr)
Como S é convexo, o ponto t,x+(1-t),y fica em S para todo t. Pela regra da cadeia,
phi'(t) =nabla fl(t,x+(1-t),yr);cdot;(x-y) =partial fpartial (x-y)l(t,x+(1-t),yr)
Mas essa derivada direcional foi dada como zero, logo phi'(t)=0 em todo [0,1]. Assim phi é constante e
f(x)=phi(1)=phi(0)=f(y)
Como x,y eram quaisquer, f é constante em S.

Resposta

a) Qualquer bola aberta em R^n é convexo.
b) Sob as hipóteses, a função f é constante em S.

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