Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0 x-ln (x+1)1-cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0x-ln(1+x)1-cos(2x)
usando o Teorema de L’Hôpital, ou seja, vamos verificar a forma indeterminada e depois diferenciar numerador e denominador até obter limite definido.

Passo 2

Avaliando diretamente em x=0:
numerador 0 - ln(1)=0
denominador 1-cos(0)=0
Logo temos forma indeterminada 0/0, o que autoriza o uso de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
ddx[x-ln(1+x)] = 1 - 11+x = x1+x,
ddx[1-cos(2x)] = 2sin(2x)
Então o limite vira
limxto0x1+x2sin(2x),
que ainda é 0/0.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
ddxgl[x1+xgr] = 1(1+x)^2,
ddx[2sin(2x)] = 4cos(2x)
Assim o limite passa a ser
limxto01(1+x)^24cos(2x) = 14

Resposta

14

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