A reta y=x é tangente à parábola y=x^2+m x+r no ponto de abscissa 1. Determine m e r.

Passo 1

O enunciado diz que a reta !y=x é tangente à parábola !y=x^2+m x+r no ponto de abscissa x=1.
Conteúdo: geometria analítica de parábola e reta, usando as condições de tangência:
  1. o ponto deve pertencer a ambas as curvas,
  2. as inclinações (derivada da parábola e coeficiente angular da reta) devem coincidir.

Passo 2

Condição de ponto comum em x=1: o valor de y na reta e na parábola coincidem. Substituindo x=1,
1 = 1^2 + mcdot1 + r
ou seja,
1 = 1 + m + r Longrightarrow m + r = 0

Passo 3

Condição de mesma inclinação: a derivada da parábola é
y' = 2x + m
Em x=1 isso deve valer a inclinação da reta, que é 1. Logo,
2cdot1 + m = 1 Longrightarrow 2 + m = 1 Longrightarrow m = -1

Passo 4

Substituindo m=-1 em m+r=0 obtemos
-1 + r = 0 Longrightarrow r = 1

Resposta

m = -1 e r = 1.

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