Suponha que uma corrente de intensidade I flua por um fio de raio a. Nessas condições calcule (a) a densidade superficial de corrente elétrica quando a corrente se distribui uniformemente sobre a superficie lateral do fio e (b) a densidade de corrente volumétrica quando a corrente se distribui proporcionalmente ao inverso da distância do eixo central, isto é, quando J=k / r, sendo k uma constante de proporcionalidade. Dê sua resposta do item (b) expressando o valor de k em termos dos parâmetros dados na questão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dado: uma corrente elétrica de intensidade I flui por um fio de raio a.
  • Pedido (a): calcular a densidade superficial de corrente elétrica quando a corrente se distribui uniformemente sobre a superfície lateral do fio.
  • Pedido (b): calcular a densidade volumétrica de corrente quando a densidade é dada por J=\dfrac{k}{r}, encontrando o valor da constante k em termos de I e a.

Passo 2

Conceito e ideia para (a). A densidade superficial de corrente (denotada tipicamente por K) é a corrente por unidade de comprimento sobre a superfície, quando a corrente flui ao longo de uma superfície. No caso de um cilindro (fio) de raio a a corrente que passa pela seção transversal do fio pode ser obtida integrando a densidade superficial ao longo da circunferência da superfície lateral.
Se a distribuição é uniforme sobre a superfície lateral, então K é constante ao longo da circunferência. A totalidade da corrente I é a soma (integral) de K ao longo do comprimento da circunferência (num corte transversal, integra-se ao redor da circunferência). O comprimento da circunferência é 2\pi a. Portanto a relação integral é
I=\int_{\text{circunferência}} K\,dl = K\,(2\pi a).ê
Resolvendo essa expressão para K obtemos a densidade superficial.

Passo 3

Cálculo explícito de (a). A partir de
I = K\,(2\pi a)
temos
K=\frac{I}{2\pi a}.
Comentário didático: K tem unidade \text{A}/\text{m}. Intuitivamente, se percorres a circunferência e somas pequenas fatias de corrente K\,dl obténs a corrente total I.

Passo 4

Conceito e ideia para (b). A densidade volumétrica de corrente J(r) (unidade \text{A}/\text{m}^2) dá a corrente por unidade de área na seção transversal. O total da corrente é a integral de J sobre a área da seção transversal do fio. Em coordenadas polares a área elementar é dA = r\,dr\,d\varphi. Dado que J(r)=\dfrac{k}{r}, ao calcular I=\iint_A J\,dA veremos simplificações.

Passo 5

Cálculo explícito de (b). Usando coordenadas polares sobre a seção circular de raio a:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} J(r)\,r\,dr\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{k}{r}\,r\,dr\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} k\,dr\,d\varphi.
A integral em r e \varphi
I = k \cdot (2\pi) \cdot a = 2\pi a\,k.
Assim
k=\frac{I}{2\pi a}.
Portanto a densidade volumétrica é
J(r)=\frac{k}{r}=\frac{I}{2\pi a}\cdot\frac{1}{r}.
Observação física e didática: J(r) diverge quando r\to 0 porque J\propto 1/r, mas a integral sobre a área é finita (a singularidade é integrável), o que permite o resultado acima. Em situação real, esse modelo idealizado não é válido arbitrariamente perto do eixo, mas matematicamente a resposta está bem definida pelo integral.

Passo 6

Verificação de consistência rápida. Note que a constante k encontrada tem as mesmas unidades que K do item (a) (ambas \text{A}/\text{m}) e, numericamente, k=K=\dfrac{I}{2\pi a}. Isso é consistente com o fato de que, ao integrar J(r)=k/r com o fator r do elemento de área, obtém-se uma contribuição equivalente por unidade de circunferência.

Resposta

(a) K=\dfrac{I}{2\pi a}
(b) J(r)=\dfrac{I}{2\pi a}\cdot\dfrac{1}{r},\quad k=\dfrac{I}{2\pi a}

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