Suponha que uma corrente de intensidade
flua por um fio de raio
. Nessas condições calcule (a) a densidade superficial de corrente elétrica quando a corrente se distribui uniformemente sobre a superficie lateral do fio e (b) a densidade de corrente volumétrica quando a corrente se distribui proporcionalmente ao inverso da distância do eixo central, isto é, quando
, sendo
uma constante de proporcionalidade. Dê sua resposta do item (b) expressando o valor de
em termos dos parâmetros dados na questão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Dado: uma corrente elétrica de intensidade
flui por um fio de raio . - Pedido (a): calcular a densidade superficial de corrente elétrica quando a corrente se distribui uniformemente sobre a superfície lateral do fio.
- Pedido (b): calcular a densidade volumétrica de corrente quando a densidade é dada por
, encontrando o valor da constante em termos de e .
Passo 2
Conceito e ideia para (a). A densidade superficial de corrente (denotada tipicamente por
) é a corrente por unidade de comprimento sobre a superfície, quando a corrente flui ao longo de uma superfície. No caso de um cilindro (fio) de raio
a corrente que passa pela seção transversal do fio pode ser obtida integrando a densidade superficial ao longo da circunferência da superfície lateral.
Se a distribuição é uniforme sobre a superfície lateral, então
é constante ao longo da circunferência. A totalidade da corrente
é a soma (integral) de
ao longo do comprimento da circunferência (num corte transversal, integra-se ao redor da circunferência). O comprimento da circunferência é
. Portanto a relação integral é
Resolvendo essa expressão para
obtemos a densidade superficial.
Passo 3
Cálculo explícito de (a). A partir de
temos
Comentário didático:
tem unidade
. Intuitivamente, se percorres a circunferência e somas pequenas fatias de corrente
obténs a corrente total
.
Passo 4
Conceito e ideia para (b). A densidade volumétrica de corrente
(unidade
) dá a corrente por unidade de área na seção transversal. O total da corrente é a integral de
sobre a área da seção transversal do fio. Em coordenadas polares a área elementar é
. Dado que
, ao calcular
veremos simplificações.
Passo 5
Cálculo explícito de (b). Usando coordenadas polares sobre a seção circular de raio
:
A integral em
e
dá
Assim
Portanto a densidade volumétrica é
Observação física e didática:
diverge quando
porque
, mas a integral sobre a área é finita (a singularidade é integrável), o que permite o resultado acima. Em situação real, esse modelo idealizado não é válido arbitrariamente perto do eixo, mas matematicamente a resposta está bem definida pelo integral.
Passo 6
Verificação de consistência rápida. Note que a constante
encontrada tem as mesmas unidades que
do item (a) (ambas
) e, numericamente,
. Isso é consistente com o fato de que, ao integrar
com o fator
do elemento de área, obtém-se uma contribuição equivalente por unidade de circunferência.
Resposta
(a)
(b)