Exercício 1.8.11 Em cada uma das alternativas abaixo, são dadas duas funções,
. Então, para cada caso, encontre as seguintes funções compostas
,
e determine o domínio da cada nova função.
e
;
Passo 1
O exercício pede pra calcular as composições f∘g, g∘f, f∘f e g∘g, onde temos as funções
f(x)=√x
g(x)=−1/x
e determinar o domínio de cada uma delas. O conteúdo aqui é composição de funções, então vamos usar a definição: pra uma composição h = f∘g, a gente faz h(x)=f(g(x)) e exige que x esteja no domínio de g e que g(x) esteja no domínio de f.
f(x)=√x
g(x)=−1/x
e determinar o domínio de cada uma delas. O conteúdo aqui é composição de funções, então vamos usar a definição: pra uma composição h = f∘g, a gente faz h(x)=f(g(x)) e exige que x esteja no domínio de g e que g(x) esteja no domínio de f.
Passo 2
Para (f∘g)(x) fazemos f(g(x)) = √(g(x)) = √(−1/x). O domínio de f∘g é {x≠0 (pra g) e g(x)≥0 (pra f)}, ou seja temos que resolver −1/x ≥ 0. Isso dá x<0. Logo dom(f∘g)= (−∞,0).
Passo 3
Para (g∘f)(x) fazemos g(f(x)) = −1/√x. O domínio de g∘f é {x≥0 (pra f) e √x≠0 (pra denominador)}, ou seja x>0. Logo dom(g∘f)= (0,∞).
Passo 4
Para (f∘f)(x) fazemos f(f(x)) = √(√x) = x^(1/4). O domínio de f∘f é só x≥0 (pra f), então dom(f∘f)= [0,∞).
Passo 5
Para (g∘g)(x) fazemos g(g(x)) = −1/(−1/x) = x. O domínio de g∘g é {x≠0 (pra g) e g(x)≠0 (mas g(x)=−1/x nunca zera se x≠0)}, então dom(g∘g)= ℝ{0}.
Resposta
As composições e seus domínios são:
(f∘g)(x) = \sqrt{-\frac{1}{x}}, dom(f∘g) = (-
abla∞,0)
abla∞,0)
(g∘f)(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}, dom(g∘f) = (0,∞)
(f∘f)(x) = x^{1/4}, dom(f∘f) = [0,∞)
(g∘g)(x) = x, dom(g∘g) = ℝ{0}