Exercício 1.8.11 Em cada uma das alternativas abaixo, são dadas duas funções,
. Então, para cada caso, encontre as seguintes funções compostas
,
e determine o domínio da cada nova função.
eg
;
Passo 1
O enunciado nos dá as funções f(x)=√(x−2) com domínio x≥2 e g(x)=√(x−1) com domínio x≥1. Precisamos formar as composições f∘g, g∘f, f∘f e g∘g e, em cada caso, achar também o domínio levando em conta que o radical exige argumento não negativo.
Passo 2
Para f∘g, substituímos g em f: f∘g(x)=f(g(x))=√(g(x)−2)=√(√(x−1)−2). Para o domínio é preciso que x≥1 (para g existir) e que √(x−1)−2≥0. Da segunda condição vem √(x−1)≥2 ⇒ x−1≥4 ⇒ x≥5. Logo o domínio é [5,∞).
Passo 3
Para g∘f, substituímos f em g: g∘f(x)=g(f(x))=√(f(x)−1)=√(√(x−2)−1). Aqui precisamos de x≥2 e √(x−2)−1≥0, ou seja √(x−2)≥1 ⇒ x−2≥1 ⇒ x≥3. Assim o domínio é [3,∞).
Passo 4
Para f∘f, aplicamos f duas vezes: f∘f(x)=f(f(x))=√(f(x)−2)=√(√(x−2)−2). Exigimos x≥2 e √(x−2)−2≥0 ⇒ √(x−2)≥2 ⇒ x−2≥4 ⇒ x≥6. Portanto o domínio é [6,∞).
Passo 5
Para g∘g, aplicamos g duas vezes: g∘g(x)=g(g(x))=√(g(x)−1)=√(√(x−1)−1). Exigimos x≥1 e √(x−1)−1≥0 ⇒ √(x−1)≥1 ⇒ x−1≥1 ⇒ x≥2. Logo o domínio é [2,∞).