Exercício 1.8.11 Em cada uma das alternativas abaixo, são dadas duas funções, f e g. Então, para cada caso, encontre as seguintes funções compostas f circ g, g circ f, f circ f, g circ g e determine o domínio da cada nova função.
f(x)=x^2-1 e g(x)=1x;

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=x^2-1 e g(x)=1x. O objetivo é encontrar as composições fcirc g, gcirc f, fcirc f e gcirc g e determinar o domínio de cada uma usando definição de composição e análise de restrições de domínio.

Passo 2

Para calcular fcirc g, substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(tfrac1xr)=l(tfrac1xr)^2-1=1x^2-1
Como g(x) exige xneq0, o domínio de fcirc g é xin R: xneq0.

Passo 3

Para calcular gcirc f, substituímos f(x) em g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=g(x^2-1)=1x^2-1
Aqui precisamos de x^2-1neq0, ou seja, xneqpm1. O domínio de gcirc f é xin R: xneqpm1.

Passo 4

Para fcirc f, substituímos f(x) em si mesma:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=f(x^2-1)=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2
Como f é definida em todo R, o domínio de fcirc f é R.

Passo 5

Para gcirc g, aplicamos g duas vezes:
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r)=gl(tfrac1xr)=11/x=x
Aqui precisamos de xneq0 para a primeira aplicação de g, e 1/xneq0 é sempre verdadeiro se xneq0. Logo, o domínio de gcirc g é xin R: xneq0.

Resposta

(fcirc g)(x)=tfrac1x^2-1, domínio: xneq0.
(gcirc f)(x)=tfrac1x^2-1, domínio: xneqpm1.
(fcirc f)(x)=x^4-2x^2, domínio: R.
(gcirc g)(x)=x, domínio: xneq0.

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