Exercício 1.8.11 Em cada uma das alternativas abaixo, são dadas duas funções, f e g. Então, para cada caso, encontre as seguintes funções compostas f circ g, g circ f, f circ f, g circ g e determine o domínio da cada nova função.
f(x)=1x-3 e g(x)=xx+1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos as funções f(x)=1x-3 e g(x)=xx+1. Vamos encontrar as composições fcirc g, gcirc f, fcirc f, gcirc g e determinar o domínio de cada uma. O conteúdo utilizado é a definição de função composta e as restrições de domínio vindas de valores que anulam denominadores.

Passo 2

Para fcirc g calculamos:
fl(g(x)r)=1xx+1-3 =1x-3(x+1)x+1 =1-2x-3x+1 =x+1-2x-3 =-x+12x+3
O domínio é dado por xneq -1 (para g) e por g(x)neq3, o que dá xneq -tfrac32.

Passo 3

Para gcirc f temos:
gl(f(x)r)=1x-31x-3+1 =1x-3x-2x-3 =1x-2
O domínio exige xneq3 (para f) e xneq2 (para o denominador x-2).

Passo 4

Para fcirc f seguimos:
fl(f(x)r)=11x-3-3 =11-3(x-3)x-3 =110-3xx-3 =x-310-3x =-x-33x-10
O domínio vem de xneq3 e de 1x-3-3neq0, que dá xneqtfrac103.

Passo 5

Para gcirc g calculamos:
gl(g(x)r)=xx+1xx+1+1 =xx+12x+1x+1 =x2x+1
O domínio exige xneq-1 (para g) e 2x+1neq0, logo xneq -tfrac12.

Resposta

(i) fcirc g(x)=-x+12x+3, .
(ii) dom(fcirc g)=xin R:xneq -1,-tfrac32, .
(iii) gcirc f(x)=1x-2, .
(iv) dom(gcirc f)=xin R:xneq2,3, .

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