Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função trigonométrica
f(x)=sen²(x/2)·cos²(x/2). Aqui vamos usar identidades trigonométricas e a regra da cadeia para derivar sem complicar demais.
f(x)=sen²(x/2)·cos²(x/2). Aqui vamos usar identidades trigonométricas e a regra da cadeia para derivar sem complicar demais.
Passo 2
Observe a identidade
sen(a)·cos(a)=\tfrac12sen(2a)
Aplicando com a=x/2, temos:
sen(x/2)·cos(x/2)=\tfrac12sen(x)
Então a função original simplifica para:
f(x)=\bigl(sen(x/2)·cos(x/2)\bigr)²=\bigl(\tfrac12sen(x)\bigr)²=\tfrac14sen²(x).
Passo 3
Agora usamos a regra da cadeia para derivar
f(x)=\tfrac14sen²(x)
Seja g(x)=sen²(x). Então g’(x)=2·sen(x)·cos(x) (pois derivada de sen(x) é cos(x)). Logo:
f’(x)=\tfrac14·g’(x)=\tfrac14·[2sen(x)cos(x)]=\tfrac12sen(x)cos(x).
Passo 4
Podemos ainda usar a identidade sen(2x)=2sen(x)cos(x) para reescrever:
f’(x)=\tfrac12sen(x)cos(x)=\tfrac14sen(2x).