Exercício 11. Para cada uma das distribuições abaixo, verifique se o modelo é de locação, escala ou locação-escala. Determine a priori não informativa para os parâmetros desconhecidos.
t_{\nu}\left(\mu, \sigma^{2}\right), \nu conhecido;

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de Student- \nu com densidade
f(x\mid \mu,\sigma^2) =\frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr)}{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr)\sqrt{\pi\,\nu\,\sigma^2}} \Bigl[1+\tfrac{1}{\nu}\Bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\Bigr)^2\Bigr]^{-\frac{\nu+1}{2}},
em que \nu é conhecido e \mu (locação) e \sigma^2 (escala) são incógnitas. O que nos pedem é:
1. Classificar o modelo como de locação, escala ou locação-escala.
2. Indicar uma priori não informativa para \mu e \sigma^2.

Passo 2

Note que podemos reescrever a densidade em função de \mu e \sigma (com \sigma>0) como
f(x\mid \mu,\sigma) =\frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr)}{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr)\sqrt{\pi\,\nu}\,\sigma} \Bigl[1+\tfrac{1}{\nu}\Bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\Bigr)^2\Bigr]^{-\frac{\nu+1}{2}}.
Essa forma mostra claramente que é uma família de locação-escala: desloca-se x\mapsto x-\mu e escala-se por \sigma.

Passo 3

Para qualquer família de locação-escala, a priori de Jeffreys (não informativa) conjunta em (\mu,\sigma) é
\pi(\mu,\sigma)\propto\frac1\sigma, \quad \sigma>0,
isto é, plana em \mu e log-plana em \sigma.

Resposta

Modelo de locação-escala.
Uma escolha não informativa é
\pi(\mu,\sigma)\propto\frac{1}{\sigma}, \quad \sigma>0,
equivalentemente, em termos de \sigma^2,
\pi(\mu,\sigma^2)\propto\frac{1}{\sigma^2}.

Exercícios relacionados