Exercício 10. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim N(\mu, \theta), i=1,2, \ldots, n. Tem-se que a família de distribuições Gama Inversa (ou Gama Invertida ou GI) tem função densidade de probabilidade
(a) Mostre que a família de distribuições do tipo Gama Inversa é conjugada ao modelo Normal de média \mu conhecida e variância \theta desconhecida;
(b) Mostre que, se Y \sim G I(\alpha, \beta), então W=1 / Y terá distribuição Gama (especifique os parâmetros).
Passo 1
O enunciado considera uma amostra X_{1},\dots,X_{n} com
(a) Precisamos mostrar que a posteriori de \theta também é Gama Inversa (conjugação);
(b) Precisamos verificar que, se Y\sim GI(\alpha,\beta), então W=1/Y é \Gamma(\alpha,\beta).
Passo 2
Escrevemos a verossimilhança de \theta dada a amostra x=(x_{1},\dots,x_{n}):