Exercício 10. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim N(\mu, \theta), i= 1,2, \ldots, n. Tem-se que a família de distribuições Gama Inversa (ou Gama Invertida ou GI) tem função densidade de probabilidade
p(y \mid \alpha, \beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} y^{-(\alpha+1)} e^{-\beta / y} \mathbb{1}_{(0, \infty)}(y), \quad \alpha, \beta>0 .𝟙
(a) Mostre que a família de distribuições do tipo Gama Inversa é conjugada ao modelo Normal de média \mu conhecida e variância \theta desconhecida;
(b) Mostre que, se Y \sim G I(\alpha, \beta), então W=1 / Y terá distribuição Gama (especifique os parâmetros).

Passo 1

O enunciado considera uma amostra X_{1},\dots,X_{n} com
X_i\mid\theta\sim N(\mu,\theta),\quad\mu\text{ conhecida},\;\theta\text{ desconhecida},
e usa como priori para \theta a Gama Inversa
\pi(\theta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,\theta^{-(\alpha+1)}e^{-\beta/\theta},\quad\alpha,\beta>0.
(a) Precisamos mostrar que a posteriori de \theta também é Gama Inversa (conjugação);
(b) Precisamos verificar que, se Y\sim GI(\alpha,\beta), então W=1/Y é \Gamma(\alpha,\beta).

Passo 2

Escrevemos a verossimilhança de \theta dada a amostra x=(x_{1},\dots,x_{n}):
L(\theta;x) =\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi\,\theta}} \exp\Bigl\{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\,\theta}\Bigr\} \;\propto\; \theta^{-n/2} \exp\Bigl\{-\frac{1}{2\theta}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\Bigr\}.

Passo 3

O núcleo da posteriori é
p(\theta\mid x)\;\propto\;L(\theta;x)\,\pi(\theta) \;\propto\; \theta^{-n/2} \exp\Bigl\{-\frac{1}{2\theta}\sum(x_i-\mu)^2\Bigr\} \;\times\; \theta^{-(\alpha+1)}e^{-\beta/\theta}.
Agrupando potências de \theta e expoentes:
p(\theta\mid x)\;\propto\; \theta^{-\bigl(\alpha+1+\tfrac{n}{2}\bigr)} \exp\Bigl\{-\frac{1}{\theta}\Bigl(\beta+\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\Bigr)\Bigr\}.

Passo 4

O kernel acima coincide com a densidade de uma Gama Inversa GI(\alpha',\beta') com
\alpha'=\alpha+\frac{n}{2}, \quad \beta'=\beta+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2.
Logo a família é conjugada e
\theta\mid x\;\sim\;GI\Bigl(\alpha+\tfrac{n}{2},\;\beta+\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\Bigr).

Passo 5

Agora (b): seja Y\sim GI(\alpha,\beta) com densidade
f_Y(y)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,y^{-(\alpha+1)}e^{-\beta/y},\quad y>0.
Defina W=1/Y. Então y=1/w e \bigl|\tfrac{dy}{dw}\bigr|=1/w^2. A densidade de W é
f_W(w) =f_Y(1/w)\,\frac{1}{w^2} =\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \,(1/w)^{-(\alpha+1)}e^{-\beta/(1/w)}\;\frac{1}{w^2} =\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,w^{\alpha-1}e^{-\beta\,w},
para w>0. Isso é exatamente a densidade de uma Gama com formato \alpha e taxa \beta.

Resposta

(a) \displaystyle \theta\mid x\sim GI\bigl(\alpha+\tfrac{n}{2},\,\beta+\tfrac12\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\bigr).
(b) Se Y\sim GI(\alpha,\beta) então W=1/Y\sim \Gamma(\alpha,\beta).

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