Exercício 11. Para cada uma das distribuições abaixo, verifique se o modelo é de locação, escala ou locação-escala. Determine a priori não informativa para os parâmetros desconhecidos.
\operatorname{Pareto}(a, b), b conhecido;

Passo 1

O enunciado considera uma amostra de uma distribuição de Pareto com parâmetro de forma \,a desconhecido e parâmetro de escala b conhecido. O objetivo é (1) identificar se esse modelo é de locação, escala ou locação-escala e (2) encontrar uma priori não informativa para o parâmetro a. Vamos usar o conceito de famílias invariantes e, na falta de invariância de locação ou escala, recorrer à priori de Jeffreys.

Passo 2

Escrevemos a função de densidade do Pareto para x\ge b:
f(x\mid a) = a\,\frac{b^{a}}{x^{a+1}}.
Para ser modelo de escala, deveríamos poder escrever f(x\mid a)=\frac1{\sigma}g(x/\sigma) para algum g; para ser modelo de locação, f(x\mid a)=g(x-\mu). Aqui o parâmetro a atua no expoente, não havendo transformação de x por adição nem multiplicação que incorpore a. Portanto não se trata de modelo de locação, nem de escala, nem de locação-escala.

Passo 3

Como não há invariância simples, usamos a priori de Jeffreys, que é
\pi(a)\propto\sqrt{I(a)},
onde I(a) é a informação de Fisher para um único dado. Primeiro calculamos o logaritmo da densidade:
\ell(a) =\ln f(x\mid a) =\ln a + a\ln b - (a+1)\ln x.
A derivada segunda é
\frac{\partial^2\ell}{\partial a^2} =-\frac1{a^2},
portanto a informação de Fisher é
I(a) =-\E\!\biggl[\frac{\partial^2\ell}{\partial a^2}\biggr] =\frac1{a^2}.
Logo a priori de Jeffreys é
\pi(a)\propto\frac1a,\quad a>0.

Resposta

A família não é de locação nem de escala nem de locação-escala, e a priori não informativa para a é
\pi(a)\propto\frac1a,\quad a>0.

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