Exercício 11. Para cada uma das distribuições abaixo, verifique se o modelo é de locação, escala ou locação-escala. Determine a priori não informativa para os parâmetros desconhecidos.
conhecido;
Passo 1
O enunciado considera uma amostra de uma distribuição de Pareto com parâmetro de forma
desconhecido e parâmetro de escala
conhecido. O objetivo é (1) identificar se esse modelo é de locação, escala ou locação-escala e (2) encontrar uma priori não informativa para o parâmetro
. Vamos usar o conceito de famílias invariantes e, na falta de invariância de locação ou escala, recorrer à priori de Jeffreys.
Passo 2
Escrevemos a função de densidade do Pareto para
:
Para ser modelo de escala, deveríamos poder escrever
para algum
; para ser modelo de locação,
. Aqui o parâmetro
atua no expoente, não havendo transformação de
por adição nem multiplicação que incorpore
. Portanto não se trata de modelo de locação, nem de escala, nem de locação-escala.
Passo 3
Como não há invariância simples, usamos a priori de Jeffreys, que é
onde
é a informação de Fisher para um único dado. Primeiro calculamos o logaritmo da densidade:
A derivada segunda é
portanto a informação de Fisher é
Logo a priori de Jeffreys é
Resposta
A família não é de locação nem de escala nem de locação-escala, e a priori não informativa para
é