Exercício 11. Para cada uma das distribuições abaixo, verifique se o modelo é de locação, escala ou locação-escala. Determine a priori não informativa para os parâmetros desconhecidos.
\operatorname{Cauchy}(0, \beta);

Passo 1

O enunciado pede para a distribuição \operatorname{Cauchy}(0,\beta) que tipo de modelo ela forma (locação, escala ou locação-escala) e qual a priori não informativa para o(s) parâmetro(s) desconhecido(s). Aqui o parâmetro desconhecido é \beta>0, a escala.

Passo 2

Escrevendo a densidade, para x\in\mathbb{R},
f(x\mid \beta) =\frac{1}{\pi\,\beta}\,\frac{1}{1+(x/\beta)^{2}}.
Reescrevendo u=x/\beta vemos que todos os dados aparecem por meio de u, ou seja, x=\beta\,u. Isso caracteriza um modelo puramente de escala (não há parâmetro de locação a estimar).

Passo 3

Para modelos de escala única, a priori de referência (Jeffreys) é
\pi(\beta)\propto \frac{1}{\beta},\quad \beta>0.
Isso reflete invariância por mudança de unidade de escala.

Resposta

O modelo é de escala e a priori não informativa para \beta é
\pi(\beta)\propto \frac{1}{\beta},\quad \beta>0.

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