Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
Enunciado: Calcule a derivada da função
dada por
.
O que é pedido: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Informações fornecidas: a função
é a composição do cosseno com a função
.
Passo 2
Ideia principal (regra usada): quando temos uma função composta
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz
Aqui
é a função externa (depende de uma variável genérica) e
é a função interna (depende de
). Isso significa: derivamos a função externa em relação à sua própria variável e multiplicamos pelo derivado da função interna em relação a
.
Exemplo rápido para fixar: se
, então, usando a regra da cadeia,
. Viu como derivamos
e depois multiplicamos pelo derivado de
, que é
.
Passo 3
Identificação das funções externa e interna no nosso caso: tome
Ou seja,
.
Passo 4
Derivada da função externa: sabemos que a derivada do cosseno em relação à sua variável é
Aplicando a regra da cadeia teremos depois que multiplicar por
.
Passo 5
Calcular
(derivado da função interna): pela regra do poder (power rule), se temos
então
. Aplicando isso a
e lembrando que a derivada de uma constante (
) é
, obtemos
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia: substituímos na fórmula geral
. Com
e
obtemos
Podemos ordenar os fatores para ficar mais limpo.