Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
g(x)=\cos \left(x^{3}+2\right)

Passo 1

Enunciado: Calcule a derivada da função g dada por g(x)=\cos\left(x^{3}+2\right).
O que é pedido: encontrar g'(x), a derivada de g em função de x.
Informações fornecidas: a função g é a composição do cosseno com a função x^{3}+2.

Passo 2

Ideia principal (regra usada): quando temos uma função composta f(h(x)), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz
\frac{d}{dx} f(h(x)) = f'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Aqui f é a função externa (depende de uma variável genérica) e h é a função interna (depende de x). Isso significa: derivamos a função externa em relação à sua própria variável e multiplicamos pelo derivado da função interna em relação a x.
Exemplo rápido para fixar: se F(x)=\sin(5x), então, usando a regra da cadeia, F'(x)=\cos(5x)\cdot 5. Viu como derivamos \sin e depois multiplicamos pelo derivado de 5x, que é 5.

Passo 3

Identificação das funções externa e interna no nosso caso: tome
\text{externa: } f(u)=\cos(u), \qquad \text{interna: } u(x)=x^{3}+2.
Ou seja, g(x)=f\bigl(u(x)\bigr).

Passo 4

Derivada da função externa: sabemos que a derivada do cosseno em relação à sua variável é
\frac{d}{du}\cos(u) = -\sin(u).
Aplicando a regra da cadeia teremos depois que multiplicar por u'(x).

Passo 5

Calcular u'(x) (derivado da função interna): pela regra do poder (power rule), se temos x^{n} então \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando isso a x^{3} e lembrando que a derivada de uma constante ( 2) é 0, obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+2\bigr)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia: substituímos na fórmula geral \frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr)= -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x). Com u(x)=x^{3}+2 e u'(x)=3x^{2} obtemos
g'(x) = -\sin\bigl(x^{3}+2\bigr)\cdot 3x^{2}.
Podemos ordenar os fatores para ficar mais limpo.

Resposta

-3x^{2}\sin\bigl(x^{3}+2\bigr)

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