Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
g(x)=\cos \left(x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\cos\big(x^{4}\big)
e pede que calculemos as derivadas (ou seja, a derivada de g em relação a x).
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A expressão é uma composição: há uma função externa \cos(\cdot) aplicada a uma função interna x^{4}.
  • A tarefa é encontrar g'(x) (a taxa de variação de g em relação a x).
    Não vamos resolver nada ainda — só identificamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos entender as ferramentas que precisamos usar — vou explicar cada uma devagar, como se estivéssemos na prova.
  1. Derivada da função \cos(u) em relação a u:
\frac{d}{du}\cos(u) = -\sin(u).
Isto significa: se você tem \cos de alguma coisa, a derivada em relação àquela “coisa” é -\sin da mesma coisa.
  1. Regra da cadeia (explicação intuitiva):
    Quando temos uma função composta g(x)=f(u(x)), a variação de g quando x muda depende de duas coisas: (i) como f varia quando sua entrada u muda, e (ii) como u varia quando x muda. Formalmente,
\frac{d}{dx}f\big(u(x)\big)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Ou seja: derivada da função externa avaliada na interna vezes derivada da função interna.
  1. Regra do poder (usada para x^{4}):
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
No nosso caso, com n=4,
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
Isso vem da definição do poder; na prova é uma regra básica que você pode aplicar direto.

Passo 3

Agora aplicamos essas ferramentas passo a passo à nossa função. Identificamos:
  • Função externa f(u)=\cos(u).
  • Função interna u(x)=x^{4}.
Pela regra da cadeia:
g'(x)=\frac{d}{dx}\cos\big(u(x)\big)=\frac{d}{du}\cos(u)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x).
Pelo item 1, \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u). Pelo item 3, u'(x)=4x^{3}. Substituindo:
g'(x) = -\sin\big(u(x)\big)\cdot 4x^{3}.

Passo 4

Substituímos de volta u(x)=x^{4} para ficar tudo em função de x e simplificamos a constante:
g'(x) = -4x^{3}\sin\big(x^{4}\big).
Se preferir, podemos escrever isso como
g'(x) = -4x^{3}\,\sin(x^{4}).
Essa é a forma final, que combina a derivada da função externa ( -\sin) com a derivada da interna ( 4x^{3}).

Resposta

-4x^{3}\sin(x^{4})

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