Exercício 11: Calcule as derivadas das funções. g(x)=\cos \left(x^{4}\right)
Passo 1
O enunciado dá a função
g(x)=\cos\big(x^{4}\big)
e pede que calculemos as derivadas (ou seja, a derivada de g em relação a x).
Informações relevantes que temos no enunciado:
A expressão é uma composição: há uma função externa \cos(\cdot) aplicada a uma função interna x^{4}.
A tarefa é encontrar g'(x) (a taxa de variação de g em relação a x).
Não vamos resolver nada ainda — só identificamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos entender as ferramentas que precisamos usar — vou explicar cada uma devagar, como se estivéssemos na prova.
Derivada da função \cos(u) em relação a u:
\frac{d}{du}\cos(u) = -\sin(u).
Isto significa: se você tem \cos de alguma coisa, a derivada em relação àquela “coisa” é -\sin da mesma coisa.
Regra da cadeia (explicação intuitiva):
Quando temos uma função composta g(x)=f(u(x)), a variação de g quando x muda depende de duas coisas: (i) como f varia quando sua entrada u muda, e (ii) como u varia quando x muda. Formalmente,