Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a sua derivada.
Dados: .
Pedido: encontrar , a taxa de variação de
em função de
.
Dados:
Pedido: encontrar
Passo 2
Relembrando as regras básicas que vamos usar (cada fórmula vem com explicação simples):
- Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
- Regra do poder (power rule): para
real, a derivada de é
Aqui
é a variável e
é o expoente; por exemplo,
.
- Derivada da função seno + regra da cadeia: se temos uma função composta
, a derivada é
Explicando:
aplicada a algo produzido por
; primeiro derivamos a função externa (
vira
) e depois multiplicamos pela derivada da parte interna
. Exemplo rápido:
.
Passo 3
Aplicando linearidade em
, escrevemos
Agora vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Derivada de
: identifique a parte interna
. Então
porque a derivada de
(com
constante) é
. Usando a regra da cadeia,
Podemos reescrever de forma mais habitual como
Passo 5
Derivada de
: aplicando a regra do poder com
,
Passo 6
Somando os resultados dos passos anteriores, obtemos
Se quiseres, dá para fatorar um
:
mas a forma
já é perfeitamente correta e direta para entregar na prova.