Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
f(x)=\operatorname{sen}(12 x)+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para calcular a sua derivada.
Dados: f(x)=\operatorname{sen}(12x)+x^{2}.
Pedido: encontrar f'(x), a taxa de variação de f em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vamos usar (cada fórmula vem com explicação simples):
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se p(x)=g(x)+h(x) então
p'(x)=g'(x)+h'(x).
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
  • Regra do poder (power rule): para n real, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; por exemplo, \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada da função seno + regra da cadeia: se temos uma função composta \operatorname{sen}(u(x)), a derivada é
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Explicando: \operatorname{sen} aplicada a algo produzido por u(x); primeiro derivamos a função externa ( \operatorname{sen} vira \cos) e depois multiplicamos pela derivada da parte interna u'(x). Exemplo rápido: \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x).

Passo 3

Aplicando linearidade em f(x)=\operatorname{sen}(12x)+x^{2}, escrevemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(12x)+\frac{d}{dx}x^{2}.
Agora vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Derivada de \operatorname{sen}(12x): identifique a parte interna u(x)=12x. Então u'(x)=\frac{d}{dx}(12x)=12 porque a derivada de ax (com a constante) é a. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(12x)=\cos(12x)\cdot 12.
Podemos reescrever de forma mais habitual como
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(12x)=12\cos(12x).

Passo 5

Derivada de x^{2}: aplicando a regra do poder com n=2,
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 6

Somando os resultados dos passos anteriores, obtemos
f'(x)=12\cos(12x)+2x.
Se quiseres, dá para fatorar um 2:
f'(x)=2\bigl(6\cos(12x)+x\bigr),
mas a forma 12\cos(12x)+2x já é perfeitamente correta e direta para entregar na prova.

Resposta

f'(x)=12\cos(12x)+2x

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