Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
g(x)=3 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede para calcular a(s) derivada(s):
g(x)=3e^{3x}.
Informações relevantes: a função é o produto de uma constante 3 pela exponencial e^{3x}. O objetivo aqui é encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Vamos recordar duas regras fundamentais que usaremos — explicadas devagarinho, como se eu estivesse do seu lado na prova:
Regra 1 — derivada da exponencial composta: se temos uma função composta \mathrm{e}^{u(x)}, a derivada é dada pela regra da cadeia. Em palavras: primeiro derivamos o expoente u(x) e depois multiplicamos pelo próprio \mathrm{e}^{u(x)}. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{e}^{u(x)}\bigr)=u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x.
Regra 2 — derivada de constante vezes função: se c é constante e h(x) é função, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot h(x)\bigr)=c\cdot h'(x).
Ou seja, a constante sai da derivada.

Passo 3

Identifique a parte interna da exponencial e calcule sua derivada. No nosso caso podemos tomar
u(x)=3x.
A derivada de u é fácil — é uma reta com inclinação 3, então
u'(x)=3.
Expliquei isso porque a regra da cadeia precisa desse u'(x).

Passo 4

Aplique a regra da cadeia à exponencial \mathrm{e}^{3x}. Usando a fórmula do Passo 2:
\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{e}^{3x}\bigr)=u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}=3\,\mathrm{e}^{3x}.
Portanto a derivada da parte exponencial é 3\mathrm{e}^{3x}.

Passo 5

Agora use que g(x)=3\cdot \mathrm{e}^{3x} e que a constante 3 multiplica a função. Pela Regra 2:
g'(x)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{e}^{3x}\bigr).
Substituindo o resultado do Passo 4:
g'(x)=3\cdot\bigl(3\mathrm{e}^{3x}\bigr).

Passo 6

Simplifique a multiplicação de constantes:
g'(x)=9\,\mathrm{e}^{3x}.
Prontinho — essa é a forma final e simples da derivada. Se quiser conferir rápido num ponto, por exemplo em x=0, temos g(0)=3 e g'(0)=9, então a tangente em x=0 tem coeficiente angular 9 — faz sentido com o crescimento rápido da exponencial.

Resposta

g'(x)=9\mathrm{e}^{3x}

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