Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) derivada(s):
Informações relevantes: a função é o produto de uma constante
pela exponencial
. O objetivo aqui é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Vamos recordar duas regras fundamentais que usaremos — explicadas devagarinho, como se eu estivesse do seu lado na prova:
Regra 1 — derivada da exponencial composta: se temos uma função composta
, a derivada é dada pela regra da cadeia. Em palavras: primeiro derivamos o expoente
e depois multiplicamos pelo próprio
. Em fórmula:
Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Regra 2 — derivada de constante vezes função: se
é constante e
é função, então
Ou seja, a constante sai da derivada.
Passo 3
Identifique a parte interna da exponencial e calcule sua derivada. No nosso caso podemos tomar
A derivada de
é fácil — é uma reta com inclinação
, então
Expliquei isso porque a regra da cadeia precisa desse
.
Passo 4
Aplique a regra da cadeia à exponencial
. Usando a fórmula do Passo 2:
Portanto a derivada da parte exponencial é
.
Passo 5
Agora use que
e que a constante
multiplica a função. Pela Regra 2:
Substituindo o resultado do Passo 4:
Passo 6
Simplifique a multiplicação de constantes:
Prontinho — essa é a forma final e simples da derivada. Se quiser conferir rápido num ponto, por exemplo em
, temos
e
, então a tangente em
tem coeficiente angular
— faz sentido com o crescimento rápido da exponencial.