Exercício 11 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis
[llll1 & 0 & 0 & 3 1 & 1 & 0 & 3 0 & 3 & 1 & 1 0 & 2 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 4times4 e, em seguida, identificar se ela é invertível (lembre que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero). O conteúdo envolvido é a expansão de Laplace (cofatores) para determinantes e o critério de invertibilidade.

Passo 2

Vamos chamar a matriz dada de A e anotar seus elementos:
A = 1 & 0 & 0 & 3 [6pt] 1 & 1 & 0 & 3 [6pt] 0 & 3 & 1 & 1 [6pt] 0 & 2 & 2 & 2
Como a primeira linha de A tem zeros nas colunas 2 e 3, é conveniente aplicar a expansão de Laplace ao longo dessa linha:
det(A) = 1cdot C11 + 0cdot C12 + 0cdot C13 + 3cdot C14,
once C1j=(-1)^1+jdet(M1j) e M1j é a submatriz que sobra ao remover linha 1 e coluna j.]

Passo 3

Identificamos as duas contribuições não nulas:
1. Para j=1:
M11 = 1 & 0 & 3 [3pt] 3 & 1 & 1 [3pt] 2 & 2 & 2 , C11 = (+1)det(M11)
2. Para j=4:
M14 = 1 & 1 & 0 [3pt] 0 & 3 & 1 [3pt] 0 & 2 & 2 , C14 = (-1)^1+4det(M14) = -det(M14) ]

Passo 4

Calculamos cada determinante de 3times3:
Para M11:
det(M11) = 1cdotl(1cdot2 - 1cdot2r) - 0cdotl(3cdot2 - 1cdot2r) + 3cdotl(3cdot2 - 1cdot2r) = 0 + 3cdot4 = 12
Para M14, expandindo pela primeira coluna:
det(M14) = 1cdotl(3cdot2 - 1cdot2r) = 1cdot4 = 4
Logo
det(A) = 1cdot(12) + 3cdotl(-4r) = 12 - 12 = 0

Passo 5

Como det(A)=0, concluímos que a matriz não é invertível.

Resposta

det(A)=0, portanto A não é invertível.

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