Exercício 11 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis
[llll1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de
M = 1 & 0 & 0 & 2 [6pt] 0 & 1 & 2 & 3 [4pt] 0 & 2 & 1 & 2 [4pt] 3 & 3 & 0 & 1
e, em seguida, indicar se M é invertível.
Conteúdo: determinante por expansão de Laplace e critério de invertibilidade (matriz é invertível se, e só se, det(M)neq0).]

Passo 2

Como na primeira linha de M só aparecem os elementos m11=1 e m14=2, expandimos ao longo da primeira linha:
det(M) = m11,C11 + m14,C14 = 1cdot C11 + 2cdot C14
Aqui
C11 = (-1)^1+1det(A) = det(A),
com
A = 1 & 2 & 3 [4pt] 2 & 1 & 2 [4pt] 3 & 0 & 1 ,
e
C14 = (-1)^1+4det(B) = -det(B),
com
B = 0 & 1 & 2 [4pt] 0 & 2 & 1 [4pt] 3 & 3 & 0
Logo,
det(M) = det(A);+;2,l(-det(B)r) = det(A);-;2,det(B) ]

Passo 3

Calculamos det(A) por Sarrus:
det(A) = 1cdot1cdot1 + 2cdot2cdot3 + 3cdot2cdot0 - l(3cdot1cdot3 + 1cdot2cdot1 + 2cdot2cdot0r) = (1 + 12 + 0) - (9 + 2 + 0) = 13 - 11 = 2

Passo 4

Calculamos det(B) por Sarrus:
det(B) = 0cdot2cdot0 + 1cdot1cdot3 + 2cdot0cdot3 - l(2cdot2cdot3 + 0cdot1cdot0 + 1cdot0cdot3r) = (0 + 3 + 0) - (12 + 0 + 0) = 3 - 12 = -9

Passo 5

Substituindo em det(M) = det(A) - 2,det(B), vem
det(M) = 2 ;-; 2cdot(-9) = 2 + 18 = 20

Passo 6

Como det(M)=20neq0, concluímos que M é invertível.

Resposta

det(M)=20.
Portanto, M é invertível.

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