Exercício 11. Calcule o produto misto dos vetores a seguir, na ordem que eles aparecem:
Verificar se os vetores abaixo são coplanares:
i u=(1,2,3), v=(0,0,2) e w=(-1,0,3)
ii u=(2,4,6), v=(1,1,3) e w=(6,12,18)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto (triplo escalar) dos vetores na ordem dada e verificar se eles são coplanares em R^3. Para isso, vamos usar que o produto misto de vec u,vec v,vec w é o determinante da matriz cujas linhas são as componentes desses vetores.

Passo 2

Definição do produto misto: para
vec u=(u1,u2,u3),
vec v=(v1,v2,v3) e
vec w=(w1,w2,w3),
temos
(vec u,vec v,vec w) = det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
Os vetores são coplanares se e somente se esse determinante for zero.

Passo 3

Caso i: vec u=(1,2,3), vec v=(0,0,2), vec w=(-1,0,3). Montamos
(vec u,vec v,vec w) = det 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 -1 & 0 & 3
Expandindo pela primeira linha:
1cdot(0cdot3 - 2cdot0) - 2cdot(0cdot3 - 2cdot(-1)) + 3cdot(0cdot0 - 0cdot(-1)) = 0 - 2cdot2 + 0 = -4
Como -4neq0, esses vetores não são coplanares.

Passo 4

Caso ii: vec u=(2,4,6), vec v=(1,1,3), vec w=(6,12,18). Montamos
(vec u,vec v,vec w) = det 2 & 4 & 6 1 & 1 & 3 6 & 12 & 18
Expandindo pela primeira linha:
2cdot(1cdot18 - 3cdot12) - 4cdot(1cdot18 - 3cdot6) + 6cdot(1cdot12 - 1cdot6) = 2cdot(-18) - 4cdot0 + 6cdot6 = -36 + 0 + 36 = 0
Como 0=0, esses vetores são coplanares.

Resposta

i) (vec u,vec v,vec w)=-4, não são coplanares.
ii) (vec u,vec v,vec w)=0, são coplanares.

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