Exercício 11. Um campo vetorial em é uma função vetorial . Dizemos que o campo é um campo gradiente quando existe uma função escalar tal que .
Em um sistema mecânico clássico cujo campo de forças depende apenas da posição, uma trajetória é uma curva que satisfaz a Equação de Newton
Mostre que, se é um campo gradiente, então há conservação de energia, isto é, a função
é constante. Por esta razão, campos gradiente também são conhecidos como campos conservativos.
Outra forma de enunciar este princípio de conservação de energia é o seguinte: o funcional energia definido como
é constante ao longo das trajetórias do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá uma trajetória que satisfaz a Equação de Newton
onde é campo gradiente, i.e.\ existe tal que
Definimos então a energia total ao longo da curva por
Queremos mostrar que E(t) é constante em t.
Passo 2
Calculemos a derivada da parte cinética usando a regra da cadeia e a propriedade do produto escalar. Temos