Exercício 11. Um campo vetorial em R^3 é uma função vetorial F: R^3 longrightarrow R^3. Dizemos que o campo F é um campo gradiente quando existe uma função escalar phi: R^3 longrightarrow R tal que F=-nabla phi.
Em um sistema mecânico clássico cujo campo de forças depende apenas da posição, uma trajetória é uma curva alpha: I longrightarrow R^3 que satisfaz a Equação de Newton
m alpha^prime prime(t)=F(alpha(t))
Mostre que, se F é um campo gradiente, então há conservação de energia, isto é, a função
E(t)=m|alpha^prime(t)|^22+phi(alpha(t))
é constante. Por esta razão, campos gradiente também são conhecidos como campos conservativos.
Outra forma de enunciar este princípio de conservação de energia é o seguinte: o funcional energia definido como
E(x, v)=m|v|^22+phi(x)
é constante ao longo das trajetórias t longmapsto(alpha(t), alpha^prime(t)) do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá uma trajetória alpha: ItoR^3 que satisfaz a Equação de Newton
m,alpha''(t)=F(alpha(t)),
onde F é campo gradiente, i.e.\ existe phi:R^3toR tal que
F=-nablaphi
Definimos então a energia total ao longo da curva por
E(t)=ml|alpha'(t)r|^22+phi(alpha(t))
Queremos mostrar que E(t) é constante em t.

Passo 2

Calculemos a derivada da parte cinética usando a regra da cadeia e a propriedade do produto escalar. Temos
ddt!l(tfracm2,lvertalpha'(t)rvert^2r) =m,alpha'(t)cdotalpha''(t),
pois l|alpha'(t)r|^2=alpha'(t)cdotalpha'(t) e ddt(alpha'cdotalpha')=2,alpha'cdotalpha''.

Passo 3

Agora, a derivada da parte potencial aplica novamente a regra da cadeia:
ddtphi(alpha(t)) =nablaphi(alpha(t))cdotalpha'(t)

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
dEdt =m,alpha'cdotalpha''+nablaphi(alpha)cdotalpha'

Passo 5

Como F=-nablaphi e pela Equação de Newton m,alpha''=F(alpha), temos
m,alpha''(,t);+;nablaphi(alpha(t)) ;=;-,nablaphi(alpha(t));+;nablaphi(alpha(t)) ;=;0
Portanto
dEdt =alpha'(t)cdotl[m,alpha''(t)+nablaphi(alpha(t))r] =0

Resposta

A derivada tfracdEdt é zero ao longo da trajetória, logo E(t) é constante.

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