Utilizando técnicas de integração, determine:
integralpi / 4^pi / 2 cot x ln (sen x) d x( Dica: faça u=ln (sen x)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
integralpi/4^pi/2cot x ,lnl(senxr),dx
O conteúdo envolvido é uma substituição simples (método de mudança de variável), usando a dica u=ln(senx).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = lnl(senxr)
Diferenciando, obtemos
du = 1senxcdotcos x,dx = cot x,dx

Passo 3

Com isso o elemento cot x,dx é exatamente du, e o integrando vira
cot x,ln(senx),dx = u,du

Passo 4

Precisamos ainda transformar os limites de integração. Quando x=pi/4,
u(pi/4)=lnl(sen(pi/4)r) =lnl(tfracraiz22r) =-tfrac12ln2,
e quando x=pi/2,
u(pi/2)=lnl(sen(pi/2)r) =ln(1)=0

Passo 5

O integral original torna-se
integralpi/4^pi/2cot x,ln(senx),dx =integralu=-12ln2^u=0u,du =u^22|-12ln2^0 =0^22-l(-tfrac12ln2r)^22 =-12cdot(ln2)^24 =-(ln2)^28

Resposta

-ln^2 28

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