Questão 3. Seja W=Mn times 1(R) o espaço das matrizes coluna. Se A in Mn times n(R), então a aplicação LA: W W dada por LA(X)=A X, para todo X in W, define um operador linear sobre W.
(a) (0,3) Prove que todo operador linear sobre W é da forma LA, para alguma matriz A in Mn times n(R).
(b) (0,3) Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja beta uma base de V. Defina a aplicação U: V W dada por U(v)=[v]beta, para todo v in V. Prove que U é um isomorfismo de espaços vetoriais.
(c) (0,3) Se T é um operador linear sobre V, então a composição U T U^-1 é um operador linear sobre W. Pelo item (a), U T U^-1 é dado pela multiplicação à esquerda de alguma matriz A. Exiba tal matriz.

Passo 1

O enunciado trata do espaço W=Mntimes1( R), que é isomorfo a R^n.
(a) Queremos mostrar que todo operador linear T:Wto W pode ser escrito como T(X)=AX para alguma matriz Ain Mntimes n( R).
(b) Dado um espaço vetorial V de dimensão n com base beta, definimos U:Vto W por
U(v) = [v]beta,
ou seja, o vetor de coordenadas de v na base beta. Devemos provar que U é isomorfismo.
(c) Para um operador linear T:Vto V, a conjugação UTU^-1:Wto W é também linear, logo, pelo item (a), existe matriz A tal que
UTU^-1(X) = A,X
Precisamos exibir explicitamente essa matriz A.

Passo 2

Definimos a base canônica de W como e1,dots,en, onde ej é o vetor coluna com 1 na posição j e zeros nas outras. Seja T:Wto W linear. Para cada j, escrevemos
T(ej) =: aj in W
Cada aj é um vetor coluna de tamanho n. Formamos a matriz
A = l(a1;;a2;;cdots;;anr)in Mntimes n( R),
ou seja, as colunas de A são exatamente os aj. Agora, dado um Xin W com coordenadas X = x1 e1 + cdots + xn en, pela linearidade de T temos
T(X) = x1T(e1) + cdots + xnT(en) = x1 a1 + cdots + xn an = A,X
Isto prova que todo operador linear em W é da forma LA para essa matriz A.

Passo 3

Mostramos que U:Vto W dada por U(v)=[v]beta é um isomorfismo.
  1. U é linear: para v,win V e lambdain R,
U(v+w) = [v+w]beta = [v]beta + [w]beta = U(v)+U(w),
U(lambda v) = [lambda v]beta = lambda,[v]beta = lambda,U(v)
  1. U é injetora: se U(v)=0, então [v]beta=0, logo v=0.
  2. U é sobrejetora: dado qualquer Xin W, escrevemos X como vetor de coordenadas (x1,dots,xn)^T e tomamos v = x1v1 + cdots + xnvnin V. Então [v]beta=X, ou seja, U(v)=X.
    Portanto U é bijetora e linear, logo um isomorfismo.

Passo 4

Se T:Vto V é linear, a aplicação
S = U,T,U^-1: Wto W
é linear e, pelo Passo 2, existe Ain Mntimes n( R) tal que S(X)=A,X. Basta encontrar A. Para isso, note que a base de W é ej e
S(ej) = Ul(T(U^-1(ej))r)
Mas U^-1(ej) é o vetor vj da base beta, pois [vj]beta=ej. Logo
S(ej) = Ul(T(vj)r) = [,T(vj),]beta,
que é o j-ésimo vetor-coluna de A. Portanto

Resposta

A matriz A que representa UTU^-1 na base canônica de W é aquela cujas colunas são as coordenadas de T(vj) em beta, isto é,
A = l([;T(v1);]beta;;[;T(v2);]beta;;cdots;;[;T(vn);]betar)

Exercícios relacionados