Questão 3. Seja
o espaço das matrizes coluna. Se
, então a aplicação
dada por
, para todo
, define um operador linear sobre
.
(a)
Prove que todo operador linear sobre
é da forma
, para alguma matriz
.
(b)
Seja
um espaço vetorial de dimensão
e seja
uma base de
. Defina a aplicação
dada por
, para todo
. Prove que
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
(c)
Se
é um operador linear sobre
, então a composição
é um operador linear sobre
. Pelo item (a),
é dado pela multiplicação à esquerda de alguma matriz
. Exiba tal matriz.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata do espaço
, que é isomorfo a
.
(a) Queremos mostrar que todo operador linear pode ser escrito como
para alguma matriz
.
(b) Dado um espaço vetorial de dimensão
com base
, definimos
por
(a) Queremos mostrar que todo operador linear
(b) Dado um espaço vetorial
ou seja, o vetor de coordenadas de
na base
. Devemos provar que
é isomorfismo.
(c) Para um operador linear , a conjugação
é também linear, logo, pelo item (a), existe matriz
tal que
(c) Para um operador linear
Precisamos exibir explicitamente essa matriz
.
Passo 2
Definimos a base canônica de
como
, onde
é o vetor coluna com 1 na posição
e zeros nas outras. Seja
linear. Para cada
, escrevemos
Cada
é um vetor coluna de tamanho
. Formamos a matriz
ou seja, as colunas de
são exatamente os
. Agora, dado um
com coordenadas
, pela linearidade de
temos
Isto prova que todo operador linear em
é da forma
para essa matriz
.
Passo 3
Mostramos que
dada por
é um isomorfismo.
-
é linear: para e ,
-
é injetora: se , então , logo . -
é sobrejetora: dado qualquer , escrevemos como vetor de coordenadas e tomamos . Então , ou seja, .
Portantoé bijetora e linear, logo um isomorfismo.
Passo 4
Se
é linear, a aplicação
é linear e, pelo Passo 2, existe
tal que
. Basta encontrar
. Para isso, note que a base de
é
e
Mas
é o vetor
da base
, pois
. Logo
que é o
-ésimo vetor-coluna de
. Portanto
Resposta
A matriz
que representa
na base canônica de
é aquela cujas colunas são as coordenadas de
em
, isto é,