Utilizando técnicas de integração, determine:
integral-raiz3 / 2^raiz3 / 2 raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
integral-raiz3/2^raiz3/2 raiz1 - x^2,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica, já que temos raiz1 - x^2. Vamos usar a substituição x = sintheta.

Passo 2

Fazendo x = sintheta, temos
dx = costheta,dtheta
e
raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
Os limites em x se transformam em theta:
x = -tfracraiz32 implies sintheta = -tfracraiz32 implies theta = -tfracpi3,
x = +tfracraiz32 implies sintheta = +tfracraiz32 implies theta = +tfracpi3

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral-raiz3/2^raiz3/2 raiz1 - x^2,dx = integral-pi/3^pi/3 (costheta),(costheta,dtheta) = integral-pi/3^pi/3 cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
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integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 5

Agora avaliamos de -pi/3 a pi/3:
gl[theta2 + sin(2theta)4gr]-pi/3^pi/3 = l(pi/32 + sin(2pi/3)4r) - l(-pi/32 + sin(-2pi/3)4r)
Sabendo que sin(2pi/3)=tfracraiz32 e sin(-2pi/3)=-tfracraiz32, temos
= l(pi6 + raiz38r) - l(-pi6 - raiz38r) = pi6 + raiz38 + pi6 + raiz38 = pi3 + raiz34

Resposta

pi3 + raiz34

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