Exercício 11:

Considerado a direção OA como x x, temos que epsilonA=epsilonx x. Utilizando as equações de deformações em uma determinada direção:
epsilonn n=epsilonx x+epsilony y2+(epsilonx x-epsilony y) cdot cos 2 theta2+epsilonx y cdot sen 2 theta
E usando para as direções dos strain-gages 1496 cdot 10^-6 & =1100 cdot 10^-6+epsilony y2+(1100 cdot 10^-6+epsilony y) cdot cos (2.40^circ)2+epsilonx y cdot sen(2.40^circ) -39,44 cdot 10^-6 & =1100 cdot 10^-6+epsilony y2+(1100 cdot 10^-6+epsilony y) cdot cos (2.140^circ)2+epsilonx y cdot sen(2.140^circ) e epsilony y=200 cdot 10^-6 e epsilonx y=780 cdot 10^-6 , temos o sistema de equações:
x
Resolvendo, vem:
sigmax x=E1-nu^2 cdot[epsilonx x+nu cdot epsilony y] sigmax x=70 cdot 10^31-0,33^2 cdot[1100 cdot 10^-6+0,33 cdot(200 cdot 10^-6)]=91,6 MPa
Utilizando a equação da lei de Hooke, podemos encontrar a tensão normal na direção :

Passo 1

A questão trabalha com transformação de deformações e lei de Hooke em um estado plano de tensões. Temos a deformação medida na direção OA (eixo xx) como ε_xx=1100·10⁻⁶ e leituras de strain-gages nas direções B (θ=40°) e C (θ=140°). Para resolver precisamos usar a fórmula de transformação de deformações e depois aplicar a lei de Hooke para obter σ_xx.

Passo 2

Para cada direção θ usamos a expressão
εnn=εxx+εyy2+(εxx-εyy)cos2θ2+εxysin2θ
Calculamos cos2θ e sen2θ:
Para θ=40° → cos80°≈0,1736 e sen80°≈0,9848
Para θ=140° → cos280°=cos80°≈0,1736 e sen280°=–sen80°≈–0,9848
Substituímos nas duas leituras:
1496·10^-6=1100·10^-6+εyy2+(1100·10^-6-εyy)·0,17362+εxy·0,9848
-39,44·10^-6=1100·10^-6+εyy2+(1100·10^-6-εyy)·0,17362+εxy·(-0,9848)

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira eliminam-se os termos simétricos e isolamos ε_{xy}:
(1496+39,44)·10^-6=2·εxy·0,9848
εxy=1535,44·10^-61,9696approx780·10^-6
Em seguida substituímos ε_{xy} em uma das equações iniciais e resolvemos para ε_{yy}, obtendo
εyyapprox200·10^-6

Passo 4

Com ε_{xx}, ε_{yy} e ε_{xy} conhecidos aplicamos a lei de Hooke para plano tensão:
σxx=E1-ν^2l[εxx+ν·εyyr]
Substituindo E=70·10³ MPa, ν=0,33, ε_{xx}=1100·10⁻⁶ e ε_{yy}=200·10⁻⁶, vem
σxx=70·10^31-0,33^2l[1100·10^-6+0,33·(200·10^-6)r]approx91,6 MPa

Resposta

σ_{xx}=91,6 MPa

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