Exercício 7:

Cálculo das deformações
epsilonA B=epsilonx x e epsilonA D=epsilony y
& epsilonx x= Alongamento de 0,2 mm Comprimento original de 100 mm=0,2100=+2 cdot 10^-3 & epsilony y= Encurtamento de 0,08 mm Comprimento original de 20 mm=-0,0820=-4 cdot 10^-3
Na direção AC, para theta=45^circ :
epsilonn n= Alongamento de 0,03 mm Comprimento original de 30 mm=0,0330=+1 cdot 10^-3
Usando a equação abaixo:
epsilonn n=epsilonx x+epsilony y2+(epsilonx x-epsilony y) cdot cos (2 theta)2+epsilonx y cdot sen(2 theta)
e substituindo os valores encontrados, tem-se:
1 cdot 10^-3=2 cdot 10^-3-4 cdot 10^-32+(2 cdot 10^-3-(-4 cdot 10^-3)) cdot cos (2.45^circ)2+epsilonx y cdot sen(
Resolvendo, temos:
epsilonx y=+2 cdot 10^-3 gammax y=+4 cdot 10^-3
O cálculo das tensões será feito a partir da Lei de Hooke para o estado plano de deformação:
|c sigmax x sigmay y taux y |=E /(1-nu^2)|ccc 1 & nu & 0 nu & 1 & 0 0 & 0 & (1-nu)2 | cdot|c epsilonx x epsilony y gammax y |
Substituindo os valores já encontrados, temos:
|c sigmax x sigmay y taux y |=2,1 cdot 10^-3 /(1-0,3^2)|ccc 1 & 0,3 & 0 0,3 & 1 & 0 0 & 0 & (1-0,3)2 | cdot|l +2 cdot 10^-3 -4 cdot 10^-3 +4 cdot 10^-3 |
Resolvendo, temos que: sigmax x=+1,85 MPa, sigmay y=-7,85 MPa e taux y=+3,23 MPa.

Passo 1

O exercício pede para calcular as tensões σₓₓ, σyy e τₓy a partir de deformações medidas ao longo de AB (eixo x), AD (eixo y) e AC (θ=45°), usando teoria de deformação plana e Lei de Hooke para estado plano de deformação. Vamos precisar das definições de εₓₓ, εyy, εnn e da relação geral
εnn=εxx+εyy2+(εxx-εyy)cos(2θ)2+εxysin(2θ),
assim como da forma matricial da Lei de Hooke em plano de deformação:
σxxσyyτxy =E1-ν^2 1&ν&0ν&1&00&0&tfrac1-ν2 εxxεyyγxy , onde E=210 GPa e ν=0,3.

Passo 2

Para εₓₓ usamos o alongamento de 0,2 mm em 100 mm:
εxx=0,2100=+2cdot10^-3
Para εyy temos encurtamento de 0,08 mm em 20 mm:
εyy=-0,0820=-4cdot10^-3

Passo 3

Na direção AC (30 mm) o alongamento de 0,03 mm dá
εnn=0,0330=+1cdot10^-3

Passo 4

Substituindo θ=45° em
1cdot10^-3=2cdot10^-3-4cdot10^-32+(2cdot10^-3-(-4cdot10^-3))cos90°2+εxysin90°,
como cos 90°=0 e sin 90°=1, vem
1cdot10^-3=-1cdot10^-3+εxy Rightarrow εxy=2cdot10^-3

Passo 5

Convertendo para deformação de engenharia:
γxy=2εxy=4cdot10^-3

Passo 6

Aplicando a Lei de Hooke em plano de deformação:
σxxσyyτxy =210times10^31-0,3^2 1&0,3&00,3&1&00&0&tfrac1-0,32 2cdot10^-3-4cdot10^-34cdot10^-3
Calculando cada componente resulta
σₓₓ≈185 MPa,
σyy≈−785 MPa,
τₓy≈323 MPa.

Passo 7

Os valores finais são obtidos diretamente das expressões acima, arredondados à unidade de MPa.

Resposta

εₓₓ=+2·10⁻³, εyy=−4·10⁻³, εₓy=+2·10⁻³, γₓy=4·10⁻³;
σₓₓ≈+185 MPa, σyy≈−785 MPa, τₓy≈+323 MPa.

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