Exercício 4:

O vetor normal ao plano em questão é dado por:
A C=(lll 0 & 0 & 2 )-(lll 2 & 0 & 0 )=(lll -2 & 0 & 2 )
e
r A B=(lll 0 & 2 & 0 )-(lll 2 & 0 & 0 )=(lll -2 & 2 & 0 ) barN=|ccc i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & 2 |=(lll 4 i & 4 j & 4 k )
Vetor unitário normal ao plano:
N=barN|barN|=(c raiz33 raiz33 raiz33 )
Multiplicando o tensor pelo vetor unitário normal ao plano, teremos o vetor tensão total:
rhosim=(ccc 18 & 0 & -12 0 & -6 & 0 -12 & 0 & 24 ) cdot(c raiz33 raiz33 raiz33 )=(l 2 raiz3 2 raiz3 4 raiz3 )

Passo 1

O exercício pede para encontrar o vetor tensão (tração) no plano definido pelos pontos A, B e C a partir de um tensor de tensões dado. O conteúdo principal envolve: geometria de vetores para achar a normal ao plano e mecânica dos sólidos para obter a tração via produto tensor×vetor.

Passo 2

Precisamos das coordenadas dos pontos. Observando as diferenças fornecidas, temos A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,2). A primeira etapa é obter dois vetores do plano: AB e AC.

Passo 3

Calculamos AB = B - A = (0,2,0) - (2,0,0) = (-2,2,0) e AC = C - A = (0,0,2) - (2,0,0) = (-2,0,2).

Passo 4

Para achar um vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial:
N = AB times AC = i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & 2 = (4,4,4)
Normalizamos N para obter o vetor unitário: como |N| = 4raiz3, temos
N = 14raiz3(4,4,4) = l(tfracraiz33,tfracraiz33,tfracraiz33r)

Passo 5

O tensor de tensões é
sigma=18 & 0 & -120 & -6 & 0-12 & 0 & 24
A tração t no plano é dada por t = sigma,N.

Passo 6

Fazendo a multiplicação de cada linha do tensor pelo vetor N, obtemos:
t = 18 & 0 & -120 & -6 & 0-12 & 0 & 24 tfracraiz33tfracraiz33tfracraiz33 = 2raiz3-2raiz34raiz3

Resposta

rhosim=l(2raiz3,,-2raiz3,,4raiz3r)^T

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