Exercício 11.2.3. Considere o espaço vetorial P2(R). Verifique se r(x)=6 x^2-4 x+1 pertence ao [p(x), q(x)] onde p(x)=x^2-x+1 e q(x)=-3 x^2+x+2.

Passo 1

O enunciado nos coloca em P2(R) e pede para verificar se
r(x)=6x^2-4x+1
pertence ao subespaço gerado pelos polinômios
p(x)=x^2-x+1 e q(x)=-3x^2+x+2
Isto significa checar se existe uma combinação linear
a,p(x)+b,q(x)=r(x)
para alguns escalares a,binR.

Passo 2

Escrevendo a combinação e expandindo os termos, temos
a,(x^2-x+1)+b,(-3x^2+x+2) =(a-3b),x^2+(-a+b),x+(a+2b)
Queremos que isso seja igual a
6x^2-4x+1

Passo 3

Igualando coeficientes dos polinômios, obtemos o sistema
a-3b=6, -a+b=-4, a+2b=1

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem a=b+4. Substituindo na primeira:
(b+4)-3b=6 ;Longrightarrow; 4-2b=6 ;Longrightarrow; b=-1,
logo a= -1+4=3. Verificando na terceira:
3+2(-1)=3-2=1,
coerente.

Passo 5

Encontramos a=3 e b=-1, de modo que
r(x)=3,p(x)-1cdot q(x)
Isso mostra que r(x) é combinação linear de p(x) e q(x), ou seja, pertence ao subespaço [p(x),q(x)].

Resposta

Sim. De fato
r(x)=3,p(x)-q(x),
portanto r(x)in [p(x),q(x)].

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