Exercício 11.2.3. Considere o espaço vetorial
. Verifique se
pertence ao
onde
e
.
Passo 1
O enunciado nos coloca em
e pede para verificar se
pertence ao subespaço gerado pelos polinômios
Isto significa checar se existe uma combinação linear
para alguns escalares
.
Passo 2
Escrevendo a combinação e expandindo os termos, temos
Queremos que isso seja igual a
Passo 3
Igualando coeficientes dos polinômios, obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, da segunda equação vem
a=b+4 . Substituindo na primeira:
logo
a= -1+4=3 . Verificando na terceira:
coerente.
Passo 5
Encontramos
a=3 e
b=-1 , de modo que
Isso mostra que
r(x) é combinação linear de
p(x) e
q(x) , ou seja, pertence ao subespaço
[p(x),q(x)] .
Resposta
Sim. De fato
portanto
r(x)in [p(x),q(x)] .